Уравнение Дирака для свободной частицы — это квантовомеханическое уравнение, которое описывает поведение фермионов с учетом релятивистского эффекта. В отличие от уравнения Шредингера, которое применяется к не-релятивистским частицам, уравнение Дирака охватывает эффекты, которые становятся важными при движении частиц с высокими скоростями, близкими к скорости света. Решения этого уравнения для свободной частицы лежат в основе многих теоретических моделей в физике элементарных частиц и астрофизике.
Для свободной частицы уравнение Дирака записывается в следующем виде:
(iγμ∂μ − m)ψ = 0
где:
Для свободной частицы с m ≠ 0 уравнение описывает движение частицы, не взаимодействующей с внешними полями. Вектор четырёх-скорости uμ в релятивистской механике представляет собой величину, которая может быть использована для характеристик движения частицы.
Для того чтобы решить уравнение Дирака для свободной частицы, важно учитывать структуру спиноров. Спинор ψ представляет собой вектор, состоящий из четырех компонент, каждая из которых является комплексной функцией времени и пространства.
Рассмотрим частицу, движущуюся вдоль оси z с импульсом pz. В этом случае уравнение Дирака приобретает вид:
$$ \left(i \gamma^0 \frac{\partial}{\partial t} - i \gamma^1 \frac{\partial}{\partial x} - i \gamma^2 \frac{\partial}{\partial y} - i \gamma^3 \frac{\partial}{\partial z} - m \right) \psi = 0 $$
Однако, благодаря симметриям, для свободной частицы можно искать решения в виде плоских волн с импульсом p⃗ и энергией E, так что решение можно записать в форме:
ψ(r⃗, t) = u(p⃗)e−ipμxμ
где u(p⃗) — это спинор, а pμxμ = Et − p⃗ ⋅ r⃗ — фазовый множитель.
Для того чтобы найти явные решения уравнения Дирака, используем параметризацию четырехмомента pμ = (E, p⃗), и записываем спинор в виде:
$$ \psi(\vec{r}, t) = e^{-i p_\mu x^\mu} \begin{pmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \\ \phi_3 \\ \phi_4 \end{pmatrix} $$
где ϕi — это компоненты спинорных функций, которые зависят от импульса p⃗. Для свободной частицы решение будет выглядеть следующим образом:
$$ u(\vec{p}) = \begin{pmatrix} u_1(\vec{p}) \\ u_2(\vec{p}) \\ u_3(\vec{p}) \\ u_4(\vec{p}) \end{pmatrix} $$
Спинорные компоненты могут быть выражены через частичные производные по пространственным координатам и энергии.
Для свободной частицы с массой m энергия связана с импульсом через релятивистское уравнение:
$$ E = \sqrt{p^2 + m^2} $$
где p — величина импульса частицы. Таким образом, для фермиона, описываемого уравнением Дирака, энергия и импульс подчиняются релятивистским закономерностям, и энергия всегда больше или равна массе частицы.
В отличие от скалярных полей, спинорные поля в уравнении Дирака имеют важную роль в квантовой теории поля. Компоненты спиноров могут быть интерпретированы как вероятностные амплитуды для различных состояний частицы. В частности, для электромагнитного взаимодействия спиноры могут быть использованы для описания таких явлений, как излучение и поглощение фотонов.
Решения уравнения Дирака описывают не только движение частицы, но и её спиновое состояние. Для однородной частицы, которая не взаимодействует с внешними полями, её спиновое состояние характеризуется двумя возможными состояниями: вверх и вниз.
Решения уравнения Дирака для свободной частицы имеют важное значение для более сложных моделей, например, для описания взаимодействий фермионов в различных полях. К тому же, такие решения необходимы для понимания свойств элементарных частиц, таких как электроны, которые могут двигаться с релятивистскими скоростями в сильных полях, таких как магнитные поля в астрофизических объектах.
Решения уравнения Дирака также лежат в основе теории квантовых полей, где важную роль играют операторы и поля, которые описывают взаимодействия частиц.