Сферическая симметрия — это одна из наиболее важных концепций в квантовой механике, особенно в задачах, связанных с потенциальными полями, имеющими радиальную симметрию. В таких задачах потенциал зависит исключительно от расстояния до центра системы, а не от угловых координат. Это значительно упрощает математическое описание системы и позволяет применять важные методы, такие как разложение в сферические гармоники и использование радиальной части уравнения Шредингера.
Для рассмотрения сферически симметричных систем удобно перейти к сферическим координатам (r, θ, ϕ), где r — радиус, θ и ϕ — углы. В таких координатах оператор Лапласа ∇2 для скалярной функции ψ(r, θ, ϕ) в сферических координатах принимает вид:
$$ \nabla^2 \psi(r, \theta, \phi) = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial \psi}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial \psi}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 \psi}{\partial \phi^2} $$
Для задач с сферической симметрией, где потенциал зависит только от радиуса V(r), волновая функция тоже может быть разделена на радиальную и угловую части. Волновую функцию можно записать как произведение радиальной части и угловой:
ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Y(θ, ϕ)
где R(r) — радиальная функция, Y(θ, ϕ) — сферическая гармоника.
Подставляя в уравнение Шредингера, получаем уравнение для радиальной функции:
$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 R(r)}{dr^2} + V(r)R(r) = E R(r) $$
где E — энергия системы. Таким образом, решение задачи сводится к решению радиального уравнения с потенциальной функцией V(r).
Примером сферически симметричной задачи является движение частицы в центральном потенциальном поле. Пусть потенциал имеет форму V(r), где r — расстояние от центра силы. В этом случае задача сводится к решению радиального уравнения Шредингера.
Рассмотрим частицу, движущуюся в центральном потенциале, например, в поле взаимодействия с ядром. Уравнение для радиальной функции принимает вид:
$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 R(r)}{dr^2} + \left[ V(r) + \frac{\ell(\ell + 1)\hbar^2}{2mr^2} \right] R(r) = E R(r) $$
где ℓ — квантовое число, связанное с угловым моментом частицы. Член $\frac{\ell(\ell + 1)\hbar^2}{2mr^2}$ является дополнительным вкладом, возникающим из-за угловой части волновой функции.
Решение этого уравнения зависит от формы потенциала V(r). Рассмотрим несколько частных случаев.
Для задачи о частице в центральной потенциальной яме, где потенциал имеет форму:
$$ V(r) = \begin{cases} 0, & \text{если } r < R \\ \infty, & \text{если } r \geq R \end{cases} $$
Решение радиального уравнения даёт дискретные значения энергии. Внутри потенциальной ямы (при r < R) потенциальная энергия равна нулю, и радиальная часть волновой функции удовлетворяет уравнению:
$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 R(r)}{dr^2} + \frac{\ell(\ell + 1)\hbar^2}{2mr^2} R(r) = E R(r) $$
Эти решения приводят к дискретным значениям энергии, соответствующим собственным уровням энергии частицы в яме. Уровни энергии для ℓ = 0 (состояние с нулевым угловым моментом) выражаются через:
$$ E_n = \frac{\hbar^2 \pi^2 n^2}{2m R^2}, \quad n = 1, 2, 3, \dots $$
Эти уровни энергии образуют дискретный спектр.
Атом водорода является классическим примером системы с центральным потенциалом. Потенциал взаимодействия между протоном и электронами можно описать как:
$$ V(r) = -\frac{k e^2}{r} $$
где k — константа, e — заряд электрона, r — расстояние от центра атома. Для такого потенциала радиальное уравнение Шредингера приобретает вид:
$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 R(r)}{dr^2} - \frac{k e^2}{r} R(r) + \frac{\ell(\ell + 1)\hbar^2}{2mr^2} R(r) = E R(r) $$
Решение этого уравнения приводит к выражению для уровней энергии атома водорода, которые зависят от квантового числа n:
$$ E_n = -\frac{k e^2}{2a_0 n^2} $$
где a0 — радиус Бора. Это решение даёт нам квантованные энергетические уровни, соответствующие переходам электрона в атоме водорода.
Когда частица в сферически симметричной системе совершает переход между различными энергетическими уровнями, возникает вопрос о возможных радиационных переходах. Для этого необходимо учитывать угловой момент частицы. При переходах, например, в атоме водорода, угловой момент и его квантование играют ключевую роль.
Переходы могут быть обусловлены изменениями квантового числа углового момента ℓ. Для радиационных переходов важно также учитывать момент дипольного излучения, который зависит от изменений углового момента.
Задачи с сферической симметрией являются важными как в теоретической физике, так и в прикладных областях, таких как атомная физика, молекулярная физика и квантовая химия. С помощью сферически симметричных моделей можно эффективно решать проблемы, связанные с движением частиц в различных потенциальных полях, а также исследовать спектры атомов и молекул.