Собственные значения и собственные функции в квантовой механике
В квантовой механике физические наблюдаемые соответствуют линейным эрмитовым операторам, действующим на векторы состояний в гильбертовом пространстве. Пусть Â — эрмитов оператор, соответствующий некоторой наблюдаемой A. Тогда задача на собственные значения заключается в нахождении таких функций ψ (элементов гильбертова пространства), для которых выполняется:
Âψ = aψ
где a — скаляр, называемый собственным значением, а ψ — собственная функция или собственный вектор оператора Â, соответствующий этому значению.
Собственные значения оператора Â представляют собой возможные результаты измерения величины A. Если состояние системы описывается собственным вектором ψ, удовлетворяющим Âψ = aψ, то измерение физической величины, соответствующей Â, даст результат a с вероятностью 1.
Если состояние не является собственным вектором Â, то результат измерения может быть любым из спектра оператора с определённой вероятностью, вычисляемой через разложение волновой функции по собственным функциям:
ψ = ∑ncnφn или ψ = ∫c(a)φa da
где φn — собственные функции дискретного спектра, φa — собственные функции непрерывного спектра, cn, c(a) — амплитуды вероятности.
Эрмитовы операторы обладают рядом фундаментальных свойств, делающих их особенно важными в физике:
Все собственные значения эрмитова оператора вещественны:
Âψ = aψ ⇒ a ∈ ℝ
Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны:
a ≠ b ⇒ ⟨ψa|ψb⟩ = 0
Собственные функции можно выбрать ортонормированными и образующими полный базис гильбертова пространства.
Это означает, что произвольное состояние системы может быть разложено по базису собственных функций любого эрмитова оператора.
Оператор координаты:
x̂ = x
Задача на собственные значения:
x̂ψx(x′) = xψx(x′) ⇒ x′ψx(x′) = xψx(x′)
Решение:
ψx(x′) = δ(x′ − x)
Собственные функции оператора координаты — дельта-функции, локализованные в точках пространства. Спектр — непрерывный, действительные числа.
Оператор импульса:
$$ \hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx} $$
Уравнение:
p̂ψp(x) = pψp(x)
Решение:
$$ \psi_p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{ipx/\hbar} $$
Собственные функции — плоские волны, спектр также непрерывен, собственные значения p вещественны.
Для эрмитова оператора Â с дискретным спектром можно записать:
 = ∑nan|φn⟩⟨φn|
Аналогично, при наличии непрерывного спектра:
 = ∫a|φa⟩⟨φa| da
Любая волновая функция может быть разложена по собственным функциям оператора:
|ψ⟩ = ∑ncn|φn⟩, cn = ⟨φn|ψ⟩
или
|ψ⟩ = ∫c(a)|φa⟩ da, c(a) = ⟨φa|ψ⟩
Это разложение используется при вычислении вероятностей и средних значений измеряемых величин.
Если нескольким линейно независимым собственным функциям соответствует одно и то же собственное значение, говорят о дегенерации. Пусть:
Âψ1 = aψ1, Âψ2 = aψ2, ψ1 ≠ λψ2
Тогда значение a называется вырожденным собственным значением, а пространство всех соответствующих собственных функций — вырожденным подпространством. Размерность этого подпространства — степень вырождения.
Пусть Â и B̂ — два эрмитовых оператора. Если:
[Â, B̂] = 0
то операторы называются совместимыми, и существует базис, общий для обоих операторов, состоящий из общих собственных функций. Это означает, что соответствующие наблюдаемые можно измерить одновременно с произвольной точностью. Такая ситуация характерна, например, для оператора энергии и компоненты момента импульса в стационарных состояниях атома.
Стационарное уравнение Шрёдингера:
Ĥψn = Enψn
— это задача на собственные значения для гамильтониана Ĥ. Найденные собственные функции ψn описывают стационарные состояния системы, а собственные значения En — соответствующие энергии. Эти состояния лежат в основе квантовой динамики.
Если гамильтониан не зависит от времени, общее решение уравнения Шрёдингера:
Ψ(x, t) = ∑ncnψn(x)e−iEnt/ℏ
— показывает, что эволюция системы выражается через фазовые множители при каждом стационарном состоянии.
Процесс измерения в квантовой механике характеризуется редукцией волновой функции: если в результате измерения наблюдаемой A получено значение a, то система “переходит” в соответствующее собственное состояние:
ψ → ψa, Âψa = aψa
Это фундаментальное отличие квантовой теории от классической, где измерение не влияет на состояние системы. Вероятность получить значение a при измерении определяется через разложение исходной волновой функции по собственным функциям оператора Â:
P(a) = |⟨φa|ψ⟩|2
Таким образом, теория собственных значений и собственных функций составляет математическую основу квантового измерения и позволяет вычислять наблюдаемые величины и вероятности их получения.
При наличии непрерывного спектра собственные функции, строго говоря, не принадлежат гильбертову пространству (например, плоские волны для оператора импульса или дельта-функции для координаты). В этих случаях вводится обобщённая теория собственных функций в духе гильбертова пространства риггед (вложенное гильбертово пространство):
???? ⊂ ℋ ⊂ ????′
где ???? — пространство тестовых функций, ℋ — гильбертово пространство, ????′ — пространство обобщённых функций. Это позволяет корректно работать с дельта-функциями и плоскими волнами как с элементами ????′, формально выполняющими уравнение на собственные значения.
В операторной (гейзенберговской) формулировке квантовой механики операторы и их собственные значения играют центральную роль. В базисе собственных векторов оператора Â его матрица диагональна:
 ↔︎ diag(a1, a2, …)
При этом состояние системы описывается вектором в пространстве состояний, а измерения и эволюция выражаются через преобразования операторов. Эволюция оператора под действием гамильтониана выражается через уравнение Гейзенберга:
$$ \frac{d\hat{A}}{dt} = \frac{i}{\hbar} [\hat{H}, \hat{A}] + \left( \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} \right) $$
Если [Ĥ, Â] = 0, то оператор Â сохраняется во времени, а его собственные значения остаются постоянными — это соответствует закону сохранения.
Понятия собственных значений и собственных функций являются краеугольными камнями всей квантовой теории. Они лежат в основе:
Без этой концепции квантовая механика теряет свою математическую структуру и физический смысл.