В квантовой механике поведение микрочастиц описывается с использованием вероятностных и статистических подходов. Основным элементом этой интерпретации является волновая функция, которая не даёт точных предсказаний для конкретных наблюдаемых величин, а лишь вероятность их обнаружения в будущем. В отличие от классической механики, где состояния системы можно точно описать в любой момент времени, квантовая механика связана с неопределенностью и вероятностными распределениями.
Волновая функция ψ(x, t) является основным математическим объектом квантовой механики, который описывает состояние системы. Однако её значение само по себе не даёт информации о конкретных физических величинах, таких как положение или энергия частиц. Чтобы получить физический смысл из волновой функции, необходимо воспользоваться операторами, соответствующими наблюдаемым величинам.
Вероятностная интерпретация: Модуль квадрата волновой функции |ψ(x, t)|2 даёт плотность вероятности найти частицу в точке x в момент времени t. Это основное различие с классической механикой, где можно точно предсказать положение объекта. В квантовой механике такие предсказания невозможны, и вместо этого говорят о вероятности нахождения частицы в определённой области пространства.
Для замкнутой системы, волновая функция должна быть нормирована, то есть интеграл от |ψ(x, t)|2 по всему пространству должен быть равен единице:
∫−∞∞|ψ(x, t)|2dx = 1
Одним из ключевых принципов квантовой механики является принцип суперпозиции, который утверждает, что если система может находиться в нескольких состояниях одновременно, то её общее состояние является линейной комбинацией этих состояний. Например, если система может находиться в двух состояниях ψ1(x, t) и ψ2(x, t), то общее состояние системы будет:
ψ(x, t) = c1ψ1(x, t) + c2ψ2(x, t)
где c1 и c2 — коэффициенты суперпозиции.
Этот принцип лежит в основе множества явлений, таких как интерференция и дифракция. Если на два волновых пакета накладываются волны с одинаковыми частотами, то на некоторых участках может происходить усиление (конструктивная интерференция), а на других — ослабление (деструктивная интерференция).
В квантовой механике физические величины, такие как энергия, импульс, положение, описываются соответствующими операторами. Эти операторы действуют на волновую функцию и дают в результате их применение собственные значения, которые представляют собой возможные измеренные значения этих величин. Например, оператор импульса p̂ и оператор положения x̂ действуют следующим образом:
$$ \hat{p} \psi(x) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \psi(x) $$
x̂ψ(x) = xψ(x)
Невозможность точного измерения: Согласно принципу неопределённости Гейзенберга, нельзя одновременно точно измерить несколько величин, таких как положение и импульс. Это ограничение математически выражается в неравенстве:
$$ \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} $$
где Δx и Δp — неопределённости положения и импульса частицы.
Квантовая механика использует операторный формализм для описания физических систем. Величины, которые можно измерить, связаны с операторами в гильбертовом пространстве. Состояния системы представляют собой векторы в этом пространстве, а операторы соответствуют наблюдаемым величинам.
Система описывается состоянием, заданным вектором состояния |ψ⟩, и измерение наблюдаемой величины, соответствующей оператору Â, даёт результат, который с вероятностью P(a) равен собственному значению a этого оператора:
P(a) = |⟨ψ|P̂a|ψ⟩|2
где P̂a — проектор на собственное пространство, соответствующее собственному значению a.
Таким образом, квантовая механика имеет статистический характер, который полностью отличается от классической физики. Вся информация о системе представляется в виде вероятностных распределений, которые могут быть вычислены из волновой функции с помощью операторов. Хотя вероятности дают мощные средства предсказания поведения системы в целом, они также подчеркивают ограничения квантовой механики — отсутствие детерминизма, где вместо точных значений наблюдаемых величин мы имеем только вероятности их измерения.