Свободная частица

Свободная частица в квантовой механике

Свободная частица — это один из основных объектов изучения в квантовой механике, который представляет собой элементарное тело, не взаимодействующее с внешними полями или другими частицами. Свободная частица, в отличие от частиц в потенциальных ямах или связанных состояниях, не испытывает внешних сил и движется по прямой с постоянной скоростью, если рассматривать ее классическое поведение. Однако в квантовой механике, даже в отсутствии внешних взаимодействий, поведение частицы определяется ее волновыми свойствами и соответствующей волновой функцией.

Основной характеристикой свободной частицы в квантовой механике является ее волновая функция. Для свободной частицы, движущейся с постоянной скоростью, волновая функция может быть представлена как планарная волна:

ψ(x, t) = Ae^{i(kx − ωt)}

где:

• A — амплитуда волны,
• k — волновое число, которое связано с импульсом частицы,
• ω — угловая частота волны, которая связана с энергией частицы.

Эта волна является решением уравнения Шредингера для свободной частицы и описывает равномерное движение частицы вдоль оси x.

Уравнение Шредингера для свободной частицы

Уравнение Шредингера для свободной частицы — это основное уравнение, которое описывает изменение волновой функции в зависимости от времени. В случае свободной частицы оно принимает вид:

$$ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(x,t) = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi(x,t) $$

где:

• ℏ — приведенная постоянная Планка,
• m — масса частицы,
• $\frac{\partial^2}{\partial x^2}$ — вторая производная по пространству.

Это уравнение показывает, как изменяется волновая функция со временем для частицы, не находящейся под действием внешних сил. Решения уравнения Шредингера для свободной частицы могут быть выражены как суперпозиции синусоидальных волн с различными значениями волновых чисел k, что позволяет описывать состояния с различными энергиями.

Импульс и энергия свободной частицы

Для свободной частицы импульс и энергия играют ключевую роль. Свободная частица в квантовой механике описывается в терминах импульса p и энергии E, которые связаны с волновыми свойствами:

p = ℏk

и

$$ E = \frac{p^2}{2m} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} $$

Таким образом, волновое число k напрямую связано с импульсом частицы, а энергия зависит от квадрата этого импульса. Если частица движется с постоянной скоростью, то ее энергия остается постоянной.

Принцип неопределенности для свободной частицы

Принцип неопределенности Гейзенберга играет важную роль при описании свободной частицы. Согласно этому принципу, существует ограничение на одновременное измерение некоторых пар величин, например, положения и импульса частицы. Для свободной частицы это ограничение можно выразить как:

$$ \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} $$

где:

• Δx — неопределенность в положении,
• Δp — неопределенность в импульсе.

Так как волновая функция свободной частицы представляет собой синусоиду, то положение частицы не может быть точно определено в любой момент времени, что означает, что неопределенность в положении будет велика. В свою очередь, неопределенность в импульсе для свободной частицы будет мала, так как импульс связан с волновым числом, которое имеет четко определенное значение.

Спектр энергии и состояния свободной частицы

Для свободной частицы спектр энергии непрерывен, что означает, что частица может обладать любым значением энергии. Это связано с тем, что свободная частица не ограничена внешними силами и может иметь любую кинетическую энергию, начиная от нуля и до бесконечности. Такое состояние отличается от частиц в потенциальных ямах, где энергия ограничена конкретными значениями.

Свободная частица в трехмерном пространстве

В более общей постановке задачи, когда частица движется в трехмерном пространстве, ее волновая функция принимает вид:

ψ(r, t) = Ae^{i(k ⋅ r − ωt)}

где k = (k_x, k_y, k_z) — вектор волнового числа, и r = (x, y, z) — вектор положения частицы в трехмерном пространстве.

Для трехмерной частицы аналогично одномерному случаю, ее энергия будет зависеть от квадрата импульса:

$$ E = \frac{p^2}{2m} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} $$

где k² = k_x² + k_y² + k_z².

Плотность вероятности для свободной частицы

Для свободной частицы плотность вероятности найти частицу в конкретной точке пространства зависит от ее волновой функции. Для волны вида:

ψ(x, t) = Ae^{i(kx − ωt)}

плотность вероятности будет:

|ψ(x, t)|² = |A|²

Это означает, что для свободной частицы вероятность нахождения ее в любой точке пространства одинаково велика, так как амплитуда волны постоянна по всему пространству. В реальных условиях, для частиц с ограниченным пространственным диапазоном, плотность вероятности будет изменяться, но для идеализированной свободной частицы, это значение всегда остается постоянным.

Заключение

Моделирование свободной частицы в квантовой механике позволяет понять основные принципы, такие как связь между волновыми и частичными характеристиками, принцип неопределенности и использование уравнения Шредингера для описания квантовых систем. Эти концепции являются основой для более сложных теорий и приложений квантовой механики, таких как описание частиц в потенциальных ямах, взаимодействие частиц и квантовые поля.