Пусть заданы два гильбертовых пространства ℋ1 и ℋ2, описывающие два квантовых подсистемы. Тогда их тензорное произведение ℋ = ℋ1 ⊗ ℋ2 является пространством, в котором описывается совокупное квантовое состояние всей составной системы. Каждый элемент пространства ℋ представляется линейной комбинацией тензорных произведений векторов из ℋ1 и ℋ2:
|Ψ⟩ = ∑i, jcij |ei⟩ ⊗ |fj⟩,
где {|ei⟩} — ортонормированный базис в ℋ1, {|fj⟩} — ортонормированный базис в ℋ2, а cij ∈ ℂ — комплексные коэффициенты.
Тензорное произведение обладает важными линейными свойствами:
(a|v⟩ + b|v′⟩) ⊗ |w⟩ = a(|v⟩⊗|w⟩) + b(|v′⟩⊗|w⟩),
|v⟩ ⊗ (a|w⟩ + b|w′⟩) = a(|v⟩⊗|w⟩) + b(|v⟩⊗|w′⟩),
для любых a, b ∈ ℂ, |v⟩,|v′⟩ ∈ ℋ1, |w⟩,|w′⟩ ∈ ℋ2.
Внутреннее произведение в ℋ1 ⊗ ℋ2 определяется по правилу:
⟨v1 ⊗ w1|v2 ⊗ w2⟩ = ⟨v1|v2⟩ ⋅ ⟨w1|w2⟩.
Это определение расширяется по линейности на всю ℋ1 ⊗ ℋ2.
Если dim ℋ1 = n, dim ℋ2 = m, то
dim (ℋ1 ⊗ ℋ2) = n ⋅ m.
Если {|ei⟩} — базис в ℋ1, а {|fj⟩} — базис в ℋ2, то множество всех |ei⟩⊗|fj⟩ образует базис в ℋ1 ⊗ ℋ2.
Пусть две подсистемы находятся в состояниях |ψ⟩ ∈ ℋ1 и |ϕ⟩ ∈ ℋ2. Тогда прямое произведение состояний описывается в виде
|Ψ⟩=|ψ⟩ ⊗ |ϕ⟩.
Такие состояния называются сепарабельными или несвязанными. Однако общее состояние |Ψ⟩ ∈ ℋ1 ⊗ ℋ2 не обязано быть разложимым в виде |ψ⟩⊗|ϕ⟩. Существуют состояния, которые не представимы как тензорное произведение — они называются запутанными.
Классическим примером запутанного состояния является состояние ЭПР:
$$ |\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |0\rangle \otimes |1\rangle + |1\rangle \otimes |0\rangle \right), $$
которое нельзя представить как |ψ⟩⊗|ϕ⟩ при любых |ψ⟩,|ϕ⟩.
Пусть Â действует в ℋ1, а B̂ — в ℋ2. Тогда оператор Â ⊗ B̂ действует на тензорное произведение как
(Â ⊗ B̂)(|ψ⟩⊗|ϕ⟩) = (Â|ψ⟩) ⊗ (B̂|ϕ⟩).
Важно, что в квантовой механике операторы, действующие на одну подсистему, продолжаются до всего пространства следующим образом:
 →  ⊗ ????, B̂ → ???? ⊗ B̂.
Это позволяет независимо описывать действия над каждой подсистемой.
Если A ∈ ℂn × n, B ∈ ℂm × m, то их тензорное произведение — это матрица A ⊗ B ∈ ℂnm × nm, определяемая как:
$$ A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11} B & a_{12} B & \cdots & a_{1n} B \\ a_{21} B & a_{22} B & \cdots & a_{2n} B \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} B & a_{n2} B & \cdots & a_{nn} B \end{bmatrix}. $$
Это позволяет вычислять операторы на составных системах, зная их действие в подпространствах.
В квантовой информации тензорное произведение — ключ к описанию нескольких кубитов. Состояние двух кубитов — это вектор в ℂ2 ⊗ ℂ2 = ℂ4. Любое квантовое вычисление над многокубитной системой описывается операторами в тензорных пространствах.
При измерении одной из подсистем мы рассматриваем частичный след:
ρ1 = Tr2(ρ),
где ρ ∈ ℋ1 ⊗ ℋ2 — плотностная матрица всей системы, ρ1 ∈ ℋ1 — редуцированное состояние.
Это играет решающую роль при анализе декогеренции, энтанглемента, неразрушающих измерений и телепортации квантовых состояний.
Для любых операторов A, A′ на ℋ1, и B, B′ на ℋ2 выполняются свойства:
(ℋ1 ⊗ ℋ2) ⊗ ℋ3 ≅ ℋ1 ⊗ (ℋ2 ⊗ ℋ3),
(A + A′) ⊗ B = A ⊗ B + A′ ⊗ B,
A ⊗ (B + B′) = A ⊗ B + A ⊗ B′,
(A1 ⊗ B1)(A2 ⊗ B2) = (A1A2) ⊗ (B1B2).
При наличии симметрий, например, вращательной или перестановочной, пространство тензорного произведения может быть разложено на инвариантные подпространства. Пример — симметричное и антисимметричное тензорные произведения, которые играют ключевую роль при описании бозонов и фермионов:
ℋ(S) = Symn(ℋ), ℋ(A) = ⋀n(ℋ).
Для фермионов используется антисимметризация, для бозонов — симметризация. Это важно при построении состояний идентичных частиц.
В подходе алгебраической квантовой теории, тензорное произведение лежит в основе построения алгебр наблюдаемых. Алгебра ????1 ⊗ ????2 соответствует составной системе. Принцип локальности требует, чтобы операторы из ????1 ⊗ ???? коммутировали с ???? ⊗ ????2.
Тензорное произведение — это фундаментальное средство построения квантовой теории составных систем. Оно позволяет описывать не только множество возможных состояний, но и их взаимодействие, корреляции, а также квантовую запутанность, которая не имеет классического аналога.
Понимание тензорных структур необходимо для углубленного изучения квантовой теории поля, теории спиновых систем, теории квантовых вычислений, квантовой криптографии и топологической квантовой теории.