Теория возмущений — один из основополагающих методов в квантовой механике, который позволяет приближенно решать задачи, когда система рассматривается как небольшое отклонение от решаемой системы с точным решением. Она используется, когда прямое решение уравнения Шрёдингера оказывается сложным или невозможным, а задача сводится к рассмотрению возмущений относительно некоторой исходной модели.
Теория возмущений основана на предположении, что поведение системы можно описать как сумму решений для невозмущённой системы и ряда поправок, вызванных возмущениями. Пусть система описывается гамильтонианом, который можно разложить на две части: гамильтониан невозмущённой системы H0 и возмущение V. Таким образом, полный гамильтониан имеет вид:
H = H0 + λV
где λ — параметр, характеризующий интенсивность возмущения. При λ = 0 система описывается невозмущённым гамильтонианом H0, а для λ ≠ 0 — полным гамильтонианом H, включающим возмущение.
Возмущения рассматриваются как малые величины, то есть λ предполагается малым, и задача сводится к нахождению поправок к энергии и волновой функции системы.
Для нахождения энергетических уровней и волновых функций в рамках теории возмущений используются разложения в ряды по параметру λ. Предполагаем, что энергия и волновая функция системы могут быть представлены как ряды Тейлора:
En = En(0) + λEn(1) + λ2En(2) + …
ψn = ψn(0) + λψn(1) + λ2ψn(2) + …
где En(0) и ψn(0) — энергия и волновая функция невозмущённой системы, соответственно, а En(i) и ψn(i) — поправки к ним порядка i.
В случае невырожденных уровней (то есть когда все энергии системы различны) подход будет несколько проще, чем в случае вырождения. Рассмотрим на примере одного энергетического уровня с невозмущённой энергией En(0). После введения возмущения гамильтониан системы можно рассматривать как разложение в ряды по λ.
Основной задачей является вычисление поправок к энергии и волновым функциям. Для первого порядка возмущений, энергия для уровня n выражается как:
En(1) = ⟨ψn(0)|V|ψn(0)⟩
Волновая функция на первом порядке возмущений для уровня n вычисляется как:
$$ \psi_n^{(1)} = \sum_{m \neq n} \frac{\langle \psi_m^{(0)} | V | \psi_n^{(0)} \rangle}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} \psi_m^{(0)} $$
Таким образом, для невырожденных уровней в первом порядке поправка к волновой функции имеет вид суммы всех вкладов от уровней, отличных от рассматриваемого, взвешенных на величину обратной разности их энергий.
Теория возмущений находит широкое применение в различных областях квантовой механики. Она используется для анализа атомных и молекулярных спектров, изучения взаимодействий частиц, а также в таких сложных задачах, как эффект Зеемана и Мач-Пеннинг.
Для атома водорода в сильном магнитном поле теория возмущений может быть использована для нахождения поправок к энергии, обусловленных взаимодействием с внешним магнитным полем. В этом случае гамильтониан системы можно представить как сумму невозмущённого гамильтониана атома водорода и взаимодействия с внешним полем.
Возмущение, вызванное магнитным полем, приводит к разделению уровней энергии атома водорода, а теория возмущений позволяет рассчитать величины этих поправок и предсказать спектр.
Теория возмущений для невырожденного случая является мощным инструментом для анализа сложных квантовых систем. Она позволяет эффективно вычислять поправки к энергии и волновым функциям, а также исследовать влияние малых возмущений на поведение системы.