Теория возмущений является одним из важнейших инструментов в квантовой механике, особенно когда точное решение задачи невозможно получить аналитически. В вырожденном случае, когда система имеет несколько состояний с одинаковыми энергиями, теория возмущений требует специальных подходов для корректного анализа. В этой главе мы рассмотрим методы применения теории возмущений в условиях вырождения и особенности расчета энергетических уровней в таких системах.
Для начала определим основные понятия. В квантовой механике система описывается гамильтонианом Ĥ, который в отсутствие возмущений имеет собственные состояния |n⟩ с энергиями En. Однако, в реальных системах присутствуют малые возмущения, которые могут быть учтены с помощью добавления возмущающего гамильтониана Ĥ′. Величина этого возмущения достаточно мала, чтобы применять теорию возмущений.
Когда система не имеет вырождения, процесс нахождения поправок к энергии и волновым функциям относительно возмущений достаточно прямолинеен. Однако, в случае вырожденности ситуация становится более сложной, и необходимо учитывать взаимодействие между состояниями, имеющими одинаковую энергию.
Под вырождением понимается ситуация, при которой несколько собственных состояний гамильтониана имеют одинаковую энергию. Это может быть связано с симметриями системы или с особенностями ее взаимодействий. Например, в атомах водорода уровни энергии, соответствующие различным орбитальным квантовым числам, могут быть вырождены в отсутствие внешнего поля.
В случае вырождения необходимо использовать расширенную версию теории возмущений, так как стандартный подход не учитывает взаимодействие между вырожденными состояниями. Поправки к энергии и волновым функциям должны быть рассчитаны с учетом данной вырожденности, что требует построения новой базы для состояний в подпространстве вырожденных состояний.
Для системы с вырождением важно выделить подпространство состояний, которые имеют одинаковую энергию. Это подпространство обычно представляет собой многомерное пространство, в котором каждое состояние можно выразить как линейную комбинацию базовых состояний. Пусть гамильтониан Ĥ0 имеет несколько вырожденных состояний с энергией E, т.е. собственные состояния гамильтониана соответствуют одному и тому же значению энергии:
Ĥ0|n⟩ = En|n⟩ (n = 1, 2, ..., N).
В этом случае необходимо построить подпространство, состоящее из всех этих вырожденных состояний, где N — это кратность вырождения.
Когда в систему вводится возмущение, например, Ĥ′, его влияние на систему можно выразить в виде матрицы возмущений. Для вырожденных состояний важно учитывать матричные элементы ⟨n|Ĥ′|m⟩, где n и m — различные состояния, находящиеся в подпространстве вырождения.
Сформулируем задачу: необходимо найти собственные значения и собственные функции гамильтониана Ĥ = Ĥ0 + Ĥ′, учитывая, что Ĥ0 имеет вырожденные собственные состояния. Для этого необходимо рассматривать матрицу возмущений в подпространстве вырождения.
Матрица возмущений Mnm = ⟨n|Ĥ′|m⟩ может быть симметричной и поддается диагонализации, что приводит к изменению структуры состояний и энергетических уровней. После диагонализации матрицы возмущений мы получаем новые собственные состояния и новые энергии для вырожденной системы.
Енергии первого порядка E(1) вычисляются как собственные значения матрицы возмущений. Эти значения представляют собой поправки к энергии, возникающие из-за наличия возмущений. Таким образом, новые энергетические уровни для вырожденной системы будут:
E′ = E0 + E(1).
Для более точного анализа можно использовать вторую и высшие поправки. В случае вырождения, поправки второго порядка и выше для энергии и волновых функций будут зависеть от более сложных взаимосвязей между состояниями и их возмущениями.
Вторая поправка для энергии имеет вид:
$$ E^{(2)}_n = \sum_{m \neq n} \frac{|\langle m | \hat{H}' | n \rangle|^2}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}}. $$
Таким образом, для точного описания энергетических уровней и волновых функций необходимо учитывать все поправки, особенно когда возмущения имеют сильное влияние на систему.
Для атома водорода в постоянном магнитном поле (эффект Зеемана) система имеет вырождение на уровнях энергии, соответствующих различным значениям квантового числа m. В присутствии внешнего магнитного поля на эти вырожденные уровни действуют возмущения, которые можно описать с помощью подхода теории возмущений для вырожденных состояний.
Рассмотрим атом водорода, для которого уровни энергии в отсутствие магнитного поля можно записать как:
$$ E_n = - \frac{13.6 \, \text{эВ}}{n^2}. $$
В магнитном поле уровни энергии вырождаются в зависимости от магнитного квантового числа m, и можно вычислить поправки к энергии и волновым функциям с использованием теории возмущений для вырожденного случая.
Теория возмущений для вырожденных состояний предоставляет мощный инструмент для анализа квантовых систем с вырождением. В таких случаях необходимо учитывать взаимодействие между состояниями с одинаковой энергией, что требует применения расширенных методов диагонализации и вычисления поправок к энергии и волновым функциям.