Классификация и физическая природа топологических фаз
Топологические фазы представляют собой особый класс квантовых состояний вещества, не характеризующихся локальными параметрами порядка, как в случае с традиционными фазовыми переходами, например, переходами между твёрдым, жидким и газообразным состояниями. Вместо этого, топологические фазы описываются глобальными (топологическими) инвариантами, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях системы, не затрагивающих её симметрию и не приводящих к закрытию энергетической щели.
Роль квантовой запутанности и отсутствие локального параметра порядка
Обычные симметрийные фазы и их переходы описываются парадигмой Ландау, в которой фазы классифицируются по типу спонтанно нарушенной симметрии, а переход между ними сопровождается возникновением или исчезновением порядка, характеризуемого локальной величиной. Однако в случае топологических фаз такого параметра не существует. Ключевым отличием является квантовая запутанность — в топологических фазах присутствует долговременная квантовая корреляция между удалёнными частями системы. Это проявляется, например, в наличии топологической энтропии запутанности, не сводящейся к локальной информации.
Топологические инварианты и защищённые состояния
Глобальные характеристики топологических фаз определяются топологическими инвариантами, которые принимают дискретные значения и не меняются при гладких изменениях параметров гамильтониана. В двумерных системах одним из важнейших инвариантов является число Черна, связанное с интегралом кривизны Берри по заполненной зоне Брильюэна:
$$ C = \frac{1}{2\pi} \int_{\text{BZ}} \mathcal{F}_{xy}(\mathbf{k}) \, d^2k, $$
где ℱxy(k) = ∂kx????y − ∂ky????x — тензор кривизны Берри, ????μ = −i⟨u(k)|∂kμ|u(k)⟩ — связь Берри, а |u(k)⟩ — собственное состояние нижней зоны. Число Черна определяет количество защищённых краевых мод, неустранимых при любом возмущении, не разрушающем щель.
Квантовый эффект Холла и модели Черна
Первым открытым примером топологической фазы стал интегральный квантовый эффект Холла. В нём при сильном магнитном поле проводимость по краю двумерного электронного газа квантуется по формуле:
$$ \sigma_{xy} = \nu \frac{e^2}{h}, \quad \nu \in \mathbb{Z}. $$
Величина ν здесь интерпретируется как число Черна заполненных зон. Модель Черна (или модель Хофштадтера) представляет собой периодическую двумерную решётку с искусственным магнитным потоком, в которой можно явно вычислить числа Черна для различных зон.
Изоляторы с временной инверсией: топологические изоляторы
Следующий класс топологических фаз связан не с магнитным полем, а с временной инверсией. Такие фазы получили название топологических изоляторов. Они сохраняют симметрию обращения времени, но обладают краевыми состояниями, защищёнными от локальных возмущений.
В двумерном случае (2D TI) такие системы характеризуются ℤ2-инвариантом, предложенным Кейн и Меле. Этот инвариант указывает на наличие защищённой пары краевых состояний с противоположным спином, что приводит к квантовому спиновому эффекту Холла.
В трёхмерном случае появляются четыре ℤ2-инварианта, и существуют фазы сильного и слабого топологического изолятора. В случае сильного изолятора на поверхности присутствуют двумерные конусообразные состояния с линейным спектром, подобным спектру Дирака.
Сверхпроводники и топологические сверхпроводники
Сверхпроводники в топологических фазах представляют особый интерес. Благодаря нарушению сохранения числа частиц и описанию в рамках формализма Боголюбова–де Жена, они позволяют существование майорановских краевых мод — состояний, равных собственным античастицам. Такие моды особенно важны для задач топологической квантовой обработки информации, поскольку они подчиняются неабелевой статистике.
Простейшая модель, демонстрирующая топологический сверхпроводник — цепочка Китыева, одномерная решётка с p-волновой спаренностью. При определённых параметрах система входит в фазу с двумя нулевыми модами Майораны на концах.
Ананомальная квантовая проводимость и топологические эффекты в 3D
В трёхмерных топологических материалах проявляются уникальные эффекты. Например, в топологических изоляторах с нарушенной симметрией обращения времени (например, за счёт ферромагнетизма) наблюдается аномальный квантовый эффект Холла без внешнего магнитного поля. Это связано с эффективной аксиальной электродинамикой, в которой возникает член θE ⋅ B в лагранжиане.
Топологические порядки и фракционизация квазичастиц
Топологические фазы включают не только симметрий-защищённые фазы (как топологические изоляторы), но и более сложные состояния, обладающие топологическим порядком, как, например, в случае дробного квантового эффекта Холла. В этих системах возникают квазичастицы с дробным зарядом и неабелевой статистикой обмена.
Математически такие состояния описываются теориями калибровочных полей Черна–Саймонса и любыми топологическими квантовыми теориями поля. Они обладают характеристикой дегенерации основного состояния на многообразиях с нетривиальной топологией (например, торе), что служит диагностикой топологического порядка.
Топологические фазы вне равновесия и в открытых системах
Интересный аспект — топологические фазы в нестационарных и диссипативных системах. Например, в периодически возбуждаемых (Floquet) системах могут возникать топологические состояния, не имеющие аналогов в статических системах. При этом топологический инвариант может определяться через унитарный эволюционный оператор за период, а не через гамильтониан.
Также возможна реализация топологических фаз в открытых системах с диссипацией. Там защиту обеспечивают не гамильтониан, а спектральные свойства оператора Линблада, управляющего эволюцией плотностной матрицы. Появляются так называемые темные состояния с топологической защитой.
Симметрии и классификация: таблица десяти классов
Современная теория топологических фаз основана на периодической таблице симметрий (Altland–Zirnbauer), в которой фазы классифицируются по наличию или отсутствию:
Всего существует десять симметрийных классов, и в зависимости от размерности системы каждая ячейка таблицы может содержать тривиальную фазу, ℤ2-фазу или ℤ-фазу. Эта классификация известна как “дополнительная” (K-theory) классификация топологических изоляторов и сверхпроводников.
Экспериментальные реализации и материалы
Топологические фазы были реализованы в ряде материалов:
Кроме того, топологические фазы активно изучаются в искусственных системах: фотонных кристаллах, ультрахолодных атомах в оптических решётках, электрических цепях и механических метаматериалах.
Физика на краю: защищённые состояния и их устойчивость
Одним из главных экспериментальных проявлений топологических фаз являются краевые состояния, существующие на границе системы. Они:
Это свойство лежит в основе bulk-boundary correspondence — фундаментального принципа, согласно которому глобальный топологический инвариант объёмной (bulk) системы определяет число и структуру краевых состояний.
Выводы о физической значимости топологических фаз
Топологические фазы расширяют наше представление о фазах материи, выходя за рамки симметрийной парадигмы Ландау. Их изучение открывает новые направления в фундаментальной физике и прикладных областях: от устойчивых к шуму квантовых вычислений до разработки новых спинтронических устройств.