Уравнение Шредингера играет центральную роль в квантовой механике, описывая динамику квантовых систем. Оно представляет собой основное уравнение, с помощью которого можно вычислить волновую функцию системы в зависимости от времени и пространства. Это уравнение является квантовым аналогом классического уравнения движения, например, уравнения Ньютона. Однако, в отличие от классической механики, в квантовой механике состояние системы представляется не через точные положения и импульсы частиц, а через волновую функцию, которая дает вероятностное распределение для этих величин.
Уравнение Шредингера было предложено Эрвином Шредингером в 1926 году и первоначально относилось к частицам, движущимся в потенциальных полях. Формулировка уравнения основывается на принципах квантовой механики и принципах соответствия с классической механикой. В частности, Шредингер использовал концепцию энергии, которая в квантовой механике является оператором.
Для частицы с массой m, которая движется в потенциальном поле V(x, t), стационарное уравнение Шредингера записывается следующим образом:
Ĥψ(x, t) = Eψ(x, t)
где:
Гамильтониан в одномерном случае можно записать как:
$$ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x) $$
где ℏ — редуцированная постоянная Планка, m — масса частицы, и $\frac{\partial^2}{\partial x^2}$ — вторая производная по пространственной координате, соответствующая кинетической энергии.
Волновая функция ψ(x, t) представляет собой комплексную функцию, которая описывает вероятностное распределение частиц в пространстве и времени. В физике она играет аналогичную роль как координаты и скорость в классической механике, однако сама по себе волновая функция не имеет непосредственного физического смысла. Математически же её квадрат |ψ(x, t)|2 дает вероятность найти частицу в определенной точке пространства в момент времени t.
Одной из важнейших характеристик волновой функции является её нормировка. Для того чтобы интерпретация |ψ(x, t)|2 как вероятности была корректной, волновая функция должна быть нормирована:
∫−∞∞|ψ(x, t)|2dx = 1
Это условие гарантирует, что вероятность нахождения частицы в некоторой области пространства равна 1.
Если рассматривать уравнение Шредингера в его полновременной форме, то оно имеет вид:
$$ i\hbar \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} = \hat{H} \psi(x,t) $$
где i — мнимая единица. Это уравнение описывает эволюцию волновой функции во времени. Оно также может быть представлено как систему из двух уравнений — для времени и пространства, которые обеспечивают полное описание состояния системы.
Полное уравнение Шредингера включает в себя как кинетическую, так и потенциальную энергию, таким образом, оно определяет эволюцию частиц и взаимодействий в квантовом мире.
Одним из наиболее простых и часто рассматриваемых примеров является решение для частицы, движущейся в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, где потенциальная энергия V(x) равна нулю внутри ямы и бесконечности на её границах.
Уравнение Шредингера в этом случае для стационарного состояния принимает вид:
$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = E \psi(x) $$
с граничными условиями ψ(0) = ψ(L) = 0, где L — длина ямы.
Решение этого уравнения даст дискретные значения энергии $E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}$, где n = 1, 2, 3, …. Эти значения энергии показывают, что частица может находиться только в дискретных энергетических состояниях. Волновые функции для этих состояний имеют вид:
$$ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) $$
Эти волновые функции являются ортогональными и нормированы на интервале [0, L].
Для систем с несколькими частицами уравнение Шредингера имеет более сложный вид, поскольку необходимо учитывать взаимодействия между частицами. Например, для двух частиц с координатами x1 и x2 стационарное уравнение будет:
Ĥψ(x1, x2) = Eψ(x1, x2)
где гамильтониан теперь будет включать взаимодействие между частицами. Это может быть, например, кулоновское взаимодействие между электронами или гравитационное взаимодействие между телами.
Уравнение Шредингера описывает идеализированные, идеальные условия, в которых система не испытывает внешних возмущений, таких как измерения. В реальной жизни процесс наблюдения оказывает значительное влияние на состояние системы, что приводит к коллапсу волновой функции — явлению, описанному в рамках интерпретации Копенгагенской квантовой механики.
Более того, при решении уравнения Шредингера необходимо учитывать различные возможные приближения, например, приближение для сильных взаимодействий или в случаях, когда системы имеют большое количество частиц (например, в статистической механике).
Таким образом, уравнение Шредингера является мощным инструментом для описания квантовых систем, однако его решения требуют учета множества факторов и явлений, специфичных для конкретных физически реальных систем.