Вариационный метод

Вариационный метод в квантовой механике

Вариационный метод является мощным инструментом в квантовой механике, используемым для приближённого нахождения собственных значений энергии и волновых функций квантовых систем. Метод основан на принципе, утверждающем, что для системы с гамильтонианом H и некоторым состоянием |ψ⟩, энергия, рассчитанная по вариационному принципу, всегда будет не меньше истинной энергии системы.

Основной идеей вариационного метода является использование функции |ψ⟩, которая является приближённым состоянием системы, для вычисления её энергии. Сначала выбирается некоторая пробная волновая функция ψ_trial, которая зависит от параметров, например, параметров формы, амплитуд или других физических величин. Далее, рассчитывается среднее значение энергии с помощью выражения

$$ E[\psi_{\text{trial}}] = \frac{\langle \psi_{\text{trial}} | H | \psi_{\text{trial}} \rangle}{\langle \psi_{\text{trial}} | \psi_{\text{trial}} \rangle}. $$

Согласно вариационному принципу, если ψ_trial не является собственным состоянием гамильтониана, то E[ψ_trial] будет большим или равным настоящему собственному значению энергии. Процесс заключается в оптимизации параметров пробной волновой функции для минимизации этой энергии.

Выбор пробной волновой функции

Для эффективного применения вариационного метода важно правильно выбрать форму пробной волновой функции. Она должна быть достаточно гибкой, чтобы приближённо воспроизвести истинное состояние системы, но в то же время её выбор должен быть ограничен так, чтобы упрощать вычисления. Наиболее часто используемые формы пробных функций включают экспоненциальные функции, полиномиальные функции и функции, связанные с гауссовыми распределениями. Пример пробной волновой функции для атома водорода может быть следующим:

ψ_trial(r) = Ae^−αr,

где A — нормировочная константа, а α — параметр, который можно варьировать для минимизации энергии.

Пример использования вариационного метода: атом водорода

Рассмотрим задачу нахождения энергии основного состояния атома водорода с использованием вариационного метода. Для этого выберем пробную волновую функцию в виде:

ψ_trial(r) = Ae^−αr,

где α является вариативным параметром, который мы будем оптимизировать. Среднее значение энергии атома водорода будет вычисляться как

$$ E[\alpha] = \frac{\langle \psi_{\text{trial}} | H | \psi_{\text{trial}} \rangle}{\langle \psi_{\text{trial}} | \psi_{\text{trial}} \rangle}. $$

Гамильтониан для атома водорода в сферических координатах имеет вид:

$$ H = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 - \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r}. $$

Вычислив необходимые интегралы для волновой функции ψ_trial(r), можно найти зависимость энергии от параметра α. Минимизация энергии по параметру α даст оптимальное приближение к настоящему собственному значению энергии атома водорода, которое равно −13.6 эВ.

Применение вариационного метода к многозвёздным системам

Для более сложных многозвёздных систем вариационный метод остаётся полезным, но часто требует применения более сложных пробных функций и численных методов. Например, для молекул или твёрдых тел часто применяют комбинации гауссовых функций или другие многочленные приближения. В таких случаях для минимизации энергии применяются различные численные методы, такие как метод Ньютон-Рафсона или другие методы оптимизации.

Преимущества и ограничения вариационного метода

Преимущества:

• Простота в реализации для сложных систем, для которых аналитические решения невозможны.
• Дает разумное приближение для энергий и волновых функций, особенно если выбор пробной функции удачен.
• Может использоваться для любых квантовых систем, включая атомы, молекулы и твёрдые тела.

Ограничения:

• Результат сильно зависит от выбора пробной функции. Если пробная функция недостаточно хороша, то результат будет далёк от истинного значения.
• Метод даёт только верхнюю оценку энергии, поэтому его результаты могут быть неточными, особенно если вариационный параметр плохо оптимизирован.
• Для многозвёздных систем могут понадобиться значительные вычислительные ресурсы.

Заключение

Вариационный метод является важным инструментом в квантовой механике для приближённого нахождения энергий и волновых функций сложных систем. Несмотря на свои ограничения, он широко используется в теоретической физике и химии для анализа различных квантовых систем.