Атом водорода является одной из ключевых моделей в квантовой механике. Его простота позволяет использовать его для демонстрации основных принципов и методов, таких как решение уравнения Шредингера и интерпретация квантовых состояний. В данном разделе рассматриваются волновые функции атома водорода, их роль в описании квантовых состояний, а также основные свойства.
Атом водорода состоит из одного протона и одного электрона. Описание его состояния в рамках квантовой механики сводится к решению уравнения Шредингера для электрона, взаимодействующего с ядром с помощью кулоновского потенциала.
Уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода имеет вид:
$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}) - \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0 r} \psi(\mathbf{r}) = E \psi(\mathbf{r}) $$
где:
Важным моментом является то, что для решения этого уравнения применяют сферическую симметрию проблемы, что приводит к разделению переменных в координатах.
Для атома водорода удобным методом решения уравнения Шредингера является использование сферических координат r, θ, и ϕ. Волновая функция атома водорода ψ(r, θ, ϕ) разделяется на три компоненты: радиальную, угловую и фазовую.
ψn(r) = Rnl(r) ⋅ Ylm(θ, ϕ)
где n — главный квантовый номер, l — орбитальный квантовый номер, m — магнитный квантовый номер, Ylm(θ, ϕ) — сферическая гармоника, а Rnl(r) — радиальная волновая функция.
Энергетические уровни атома водорода определяются главным квантовым числом n, которое принимает целые положительные значения: n = 1, 2, 3, …. Энергия уровня атома водорода выражается формулой:
$$ E_n = -\frac{13.6 \text{ эВ}}{n^2} $$
где 13.6 эВ — энергия основного состояния атома водорода. Обратите внимание, что энергия зависит только от главного квантового числа n, и не зависит от орбитального (l) и магнитного (m) квантовых чисел.
Волновая функция атома водорода имеет вид:
ψnlm(r, θ, ϕ) = Rnl(r)Ylm(θ, ϕ)
где:
Решение радиальной части уравнения Шредингера даёт радиальную волновую функцию Rnl(r), которая зависит от квантовых чисел n и l и выглядит следующим образом:
$$ R_{nl}(r) = \sqrt{\frac{(n-l-1)!}{2n^2 [(n+l)!]}} \left( \frac{2r}{na_0} \right)^l e^{-r/(na_0)} L_{n-l-1}^{2l+1} \left( \frac{2r}{na_0} \right) $$
где a0 — это радиус Бора, равный 5.29 × 10−11 м, а Ln − l − 12l + 1 — полиномы Лагерра.
Угловая часть волновой функции, сферическая гармоника, даёт информацию о распределении вероятности нахождения электрона в различных направлениях. Эти функции зависят от угловых переменных θ и ϕ и выражаются через специальные функции, называемые полиномами Лежандра:
$$ Y_l^m(\theta, \phi) = (-1)^m \sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi} \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P_l^m(\cos\theta) e^{im\phi} $$
где Plm(cos θ) — полиномы Лежандра, а m — магнитное квантовое число.
Волновая функция атома водорода ψnlm(r, θ, ϕ) представляет собой амплитуду вероятности нахождения электрона в определённой точке пространства. Квадрат её модуля |ψnlm(r, θ, ϕ)|2 даёт плотность вероятности, которая описывает распределение вероятности нахождения электрона в различных точках пространства.
Одним из важных аспектов квантового описания атома водорода является то, что энергия атома не является непрерывной, а принимает дискретные значения. Эти значения определяются главным квантовым числом n и выражаются формулой:
$$ E_n = -\frac{13.6 \text{ эВ}}{n^2} $$
Дискретизация энергии является следствием квантования состояния электрона в атоме водорода.
Волновая функция атома водорода предоставляет полное описание его квантового состояния. Она играет важную роль в квантовой механике, поскольку позволяет предсказать поведение частиц на атомарном уровне. Энергетические уровни атома водорода являются примерами квантованных состояний, а радиальные и угловые функции представляют собой важные элементы квантового описания электрона в атоме водорода.