Вторичное квантование (или квантование поля) представляет собой мощный метод в теоретической физике, используемый для описания взаимодействий частиц в квантовой теории поля. Оно является расширением концепции квантования, которая применялась ранее для описания частиц, и включает в себя представление поля как набора квантованных осциляторов. В отличие от первичного квантования, где квантовые состояния частиц описываются волновыми функциями, вторичное квантование работает с полями, которые являются основой взаимодействий в квантовой теории поля.
Вторичное квантование основывается на принципе, что физические поля, такие как электромагнитное или гравитационное поле, можно рассматривать как системы, состоящие из бесконечного числа связанных осциляторов. Эти осциляторы находятся в состоянии дискретных квантовых уровней, что и дает возможность описания частиц, таких как фотоны, глюоны, электроны и другие.
Основной целью вторичного квантования является создание и уничтожение частиц в различных состояниях, а не описание их движения с помощью волновых функций, как это было в классической квантовой механике.
Одним из ключевых элементов вторичного квантования являются операторы создания и уничтожения. Эти операторы действуют на состояния поля, добавляя или удаляя частицы.
Оператор создания a†(k): Этот оператор создает частицу с определенным импульсом k в состоянии поля. Он действует на вакуумное состояние, превращая его в состояние с одной частицей с импульсом k.
a†(k)|0⟩=|1k⟩
Оператор уничтожения a(k): Этот оператор уничтожает частицу с импульсом k в состоянии поля. Он действует на состояние с частицей, возвращая вакуумное состояние.
a(k)|1k⟩=|0⟩
Эти операторы удовлетворяют коммутационным или антикоммутационным соотношениям в зависимости от типа частиц, которые они описывают. Для бозонов (частицы, подчиняющиеся статистике Бозе-Эйнштейна) выполняется коммутатор:
[a(k), a†(k′)] = δ(k − k′)
Для фермионов (частицы, подчиняющиеся статистике Ферми-Дирака) применяется антикоммутатор:
{a(k), a†(k′)} = δ(k − k′)
Вторичное квантование требует представления классического поля как суммы мод, каждая из которых может быть представлена как квантовый осциллятор. Рассмотрим пример с электромагнитным полем, которое описывается четырехвектором Aμ(x) (где x — координаты). Классическое поле можно разложить в гармонические осцилляторы, и квантовать его с помощью операторов создания и уничтожения.
$$ A^\mu(x) = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_k}} \left[ \epsilon^\mu(k) a(k) e^{ikx} + \epsilon^{\mu *}(k) a^\dagger(k) e^{-ikx} \right] $$
Здесь a(k) и a†(k) — операторы уничтожения и создания соответственно, ϵμ(k) — поляризационные векторы для фотонов, а $E_k = \sqrt{k^2 + m^2}$ — энергия частицы с массой m.
В вакуумном состоянии поля нет частиц. Однако через операторы создания можно создавать частицы с определенными свойствами (например, с определенным импульсом или энергией). Вакуумное состояние |0⟩ определяется как состояние, которое не содержит частиц, и его действия оператора уничтожения a(k) сводятся к нулю:
a(k)|0⟩ = 0
Это свойство вакуума и является основой многих важных результатов теории поля, включая эффект создания частиц и античастиц из вакуума.
Метод вторичного квантования применяется в различных разделах физики, включая:
Квантовую электродинамику (КЭД): В этой теории электромагнитное поле рассматривается как квантованное. Фотоны взаимодействуют с заряженными частицами, такими как электроны и позитроны, через операторы создания и уничтожения.
Квантовая хромодинамика (КХД): Здесь кварки и глюоны, как частицы, описываются с помощью аналогичного подхода. Глюоны, как бозоны, взаимодействуют с кварками через сильные взаимодействия, а их квантование описывается через операторы создания и уничтожения глюонов.
Квантовая теория поля в кривых пространствах-времени: Во многих случаях квантование полей используется для анализа космологических и астрофизических явлений, таких как создание частиц в черных дырах, эффекты Хокинга и др.
Вторичное квантование тесно связано с каноническим квантованием. Каноническое квантование предполагает применение принципа неопределенности к классическому гамильтоновому формализму. Для полей, описываемых как набор осцилляторов, каноническое квантование приводит к введению операторов, соответствующих величинам, таким как импульс и энергия.
Примером может служить гамильтониан, который описывает систему свободных частиц, как суммарную энергию осцилляторов:
$$ H = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} E_k \left( a^\dagger(k) a(k) + \frac{1}{2} \right) $$
Здесь H — гамильтониан системы, который можно интерпретировать как суммарную энергию, где $\frac{1}{2}$ — это энергия вакуума.
Одним из центральных аспектов вторичного квантования является возможность введения взаимодействий между полями. В случае квантовой электродинамики, например, взаимодействие между электронами и фотонами описывается через лагранжиан, который включает операторы создания и уничтожения для обоих типов частиц.
Когда поля взаимодействуют, то вместо простого добавления частиц и их состояний необходимо учесть сложные эффекты, такие как обмены виртуальными частицами, которые описываются диаграммами Фейнмана.
Таким образом, вторичное квантование является неотъемлемой частью квантовой теории поля, позволяющей строить сложные модели взаимодействий, включая такие как электромагнитные, слабые и сильные взаимодействия.