Взаимодействие заряда с электромагнитным полем — один из краеугольных камней теоретической физики, лежащий в основе многих явлений в классической и квантовой механике. Это взаимодействие имеет два компонента: электрическое и магнитное. В квантовой механике описание взаимодействия происходит через использование математического аппарата, в частности через понятие гамильтониана и его взаимодействие с внешними полями.
Основным инструментом для описания взаимодействия заряда с электромагнитным полем является Лагранжиан. В классической механике Лагранжиан L описывает кинетическую и потенциальную энергию системы:
L = T − V
где T — кинетическая энергия, а V — потенциальная энергия. В случае заряженной частицы в электромагнитном поле, Лагранжиан принимает вид:
$$ L = \frac{1}{2} m \dot{\vec{r}}^2 + e \vec{A} \cdot \dot{\vec{r}} - e \phi $$
где:
Это выражение отображает взаимодействие частицы с электромагнитным полем через потенциалы A⃗ и ϕ, которые описывают соответственно магнитное и электрическое поля.
Гамильтониан системы, который описывает её полную энергию, будет следующим:
$$ H = \frac{1}{2} m \left( \vec{p} - e \vec{A} \right)^2 + e \phi $$
где p⃗ — импульс частицы. Этот гамильтониан является основой для построения уравнений движения, которые описывают динамику заряженной частицы в электромагнитном поле.
Для заряженной частицы в электромагнитном поле уравнение движения выводится из принципа наименьшего действия, использующего Лагранжиан. Результатом является уравнение Лоренца:
$$ m \ddot{\vec{r}} = e \left( \vec{E} + \dot{\vec{r}} \times \vec{B} \right) $$
где:
Это уравнение показывает, как движется заряд, взаимодействующий с внешним электромагнитным полем, и описывает траекторию его движения с учётом как электрического, так и магнитного полей.
В квантовой механике электромагнитное поле описывается через операторы, и взаимодействие зарядов с полем ведет к более сложной картине, чем в классической механике. В рамках квантовой электродинамики (КЭД) взаимодействие зарядов с полем моделируется через обмен фотонами, которые являются квантами электромагнитного поля. При этом поле рассматривается как бесконечно многомерная система, где каждой конфигурации соответствует определённый фоновый потенциал.
Один из важнейших аспектов квантового взаимодействия — это использование операторов для описания зарядов и поля. Например, в квантовой теории поля для заряда и поля вводятся операторы создания и уничтожения, которые действуют на квантовые состояния.
Пусть a† и a — операторы создания и уничтожения для фотонов, тогда взаимодействие между частицей с зарядом e и электромагнитным полем в квантовом описании будет выражаться через:
Hint = −eA⃗ ⋅ p⃗
где A⃗ — операторы векторного потенциала, а p⃗ — импульс частицы. Эти операторы и их коммутатор отражают взаимодействие с фотонами электромагнитного поля.
Магнитное взаимодействие в квантовой механике также имеет важное значение. В отличие от электрического поля, магнитное взаимодействие оказывает влияние на движущиеся заряды, изменяя их траектории через влияние на их импульс и скорость. Это взаимодействие приводит к явлениям, таким как магнитный момент частицы и эффект Ааронова-Бома, где частица может испытывать магнитное поле даже в случае, если оно не проходит через неё напрямую.
Когда скорости частиц становятся сравнимыми с напряженностью электрического и магнитного полей, необходимо учитывать релятивистские эффекты. В релятивистской теории электромагнитное поле объединяется в четырёхмерный тенсор поля Fμν, и уравнение движения заряженной частицы описывается через релятивистское уравнение:
$$ m \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} = e F^{\mu\nu} \frac{dx_\nu}{d\tau} $$
где τ — собственное время частицы. Это уравнение обобщает уравнение Лоренца на релятивистский случай.
Основное отличие квантовой электродинамики от классической теории взаимодействия зарядов с полем заключается в том, что в КЭД электромагнитное поле рассматривается как квантованное, а взаимодействие с частицей происходит через обмен фотонами. При этом фотон может быть как поглощён, так и испущен частицей, что приводит к эффектам, таким как рассеяние, рождение и аннигиляция частиц.
В КЭД электромагнитное поле моделируется через поля Лагранжа для фотонов и взаимодействующие операторы. Взаимодействие между частицами и полем в этой теории описывается через вертексные функции, которые выражают вероятности разных взаимодействий между частицей и полем.
На практике взаимодействие зарядов с электромагнитным полем лежит в основе множества явлений, включая работу электрических и магнитных устройств, электростатические взаимодействия, а также взаимодействие в таких феноменах, как электромагнитное излучение, эффект Зеемана, а также явления в ядровой и элементарной физике.
Механизмы, связанные с взаимодействием зарядов с полем, также объясняют явления, такие как туннелирование и процессы, связанные с квантовыми флуктуациями электромагнитного поля.
Сложность и многообразие этих процессов подчеркивают важность изучения взаимодействий между частицами и полем, как в классической, так и в квантовой механике.