Квантовая механика описывает поведение частиц на микроскопическом уровне, где различные эффекты, такие как волновая природа материи, могут влиять на динамику системы. В рамках этой теории рассмотрение возмущений играет ключевую роль, позволяя анализировать отклонения от основной траектории, вызванные внешними воздействиями. Особенно интересным является рассмотрение зависимых от времени возмущений, которые приводят к изменению состояния системы с течением времени.
Теория возмущений — это метод, используемый для решения задач, в которых система находится под влиянием небольших возмущений по сравнению с основной частью гамильтониана системы. Важно, что возмущения могут быть как временными, так и не зависящими от времени, однако в данном случае нас интересуют именно возмущения, которые изменяются во времени.
Основное уравнение, описывающее эволюцию квантовых состояний, выражается через уравнение Шрёдингера:
$$ i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \left| \psi(t) \right\rangle = \hat{H}(t) \left| \psi(t) \right\rangle $$
где Ĥ(t) — гамильтониан системы, зависящий от времени, а |ψ(t)⟩ — волновая функция системы в момент времени t.
Гамильтониан можно разложить на две части: основной гамильтониан Ĥ0, который описывает свободное движение системы, и возмущение Ĥ′(t), которое влияет на систему:
Ĥ(t) = Ĥ0 + Ĥ′(t)
Если возмущение невелико, то можно использовать метод возмущений первого порядка для нахождения решения. Решение уравнения Шрёдингера в этом случае будет представлять собой разложение в ряд по степени Ĥ′(t):
$$ \left| \psi(t) \right\rangle = \left| \psi_0 \right\rangle + \frac{1}{i\hbar} \int_0^t \hat{H}'(t') \left| \psi_0 \right\rangle dt' + O\left( \hat{H}'^2 \right) $$
где |ψ0⟩ — исходное состояние системы, то есть решение без учета возмущения.
Возмущения, зависящие от времени, могут вызывать переходы между различными энергетическими уровнями системы. Рассмотрим простейший пример атома, взаимодействующего с электромагнитным полем. Это взаимодействие можно описать с помощью гамильтониана:
$$ \hat{H}'(t) = -\hat{\mathbf{d}} \cdot \mathbf{E}(t) $$
где $\hat{\mathbf{d}}$ — оператор дипольного момента атома, а E(t) — электрическое поле, которое варьируется со временем.
Используя метод возмущений первого порядка, можно вычислить амплитуды переходов между энергетическими уровнями. Если поле достаточно слабое, то вероятность перехода из состояния n в состояние m пропорциональна квадрату модуля элемента матрицы ⟨m|Ĥ′(t)|n⟩.
Для квантового перехода важную роль играет временная зависимость поля. В случае гармонического электрического поля E(t) = E0cos (ωt), например, можно получить резонансные переходы при совпадении частоты поля с разностью энергий состояний системы.
Если возмущение существенно, то следует учесть не только первый, но и второй порядок возмущений. Это позволяет более точно учесть изменения, происходящие в системе из-за сильных возмущений.
Для второго порядка решение будет выглядеть следующим образом:
$$ \left| \psi(t) \right\rangle = \left| \psi_0 \right\rangle + \frac{1}{i\hbar} \int_0^t \hat{H}'(t') \left| \psi_0 \right\rangle dt' + \left(\frac{1}{i\hbar}\right)^2 \int_0^t dt_1 \int_0^{t_1} dt_2 \, \hat{H}'(t_1) \hat{H}'(t_2) \left| \psi_0 \right\rangle + O\left( \hat{H}'^3 \right) $$
Этот более сложный ряд позволяет учитывать нелинейные эффекты, такие как переходы, вызванные взаимодействием с полем на двух разных временных промежутках.
Зависящие от времени возмущения имеют важное значение для описания множества явлений в квантовой механике:
Рассмотрим атом водорода, в котором электрон подвергается воздействию переменного электромагнитного поля. Возмущение в таком случае можно описать как взаимодействие электрического поля с дипольным моментом атома. Используя теорию возмущений, можно рассчитать вероятность того, что электрон перейдет на более высокий энергетический уровень под воздействием этого поля.
Для атома водорода гамильтониан в первом порядке возмущений будет иметь вид:
$$ \hat{H}'(t) = - e \mathbf{E}(t) \cdot \hat{\mathbf{r}} $$
где E(t) — внешнее электрическое поле, e — заряд электрона, а $\hat{\mathbf{r}}$ — оператор радиус-вектора.
Переходы между уровнями будут происходить при совпадении частоты внешнего поля с разностью энергий между состояниями, что соответствует явлению резонанса. Такое взаимодействие можно использовать для создания эффектов, таких как поглощение или испускание света.
Зависящие от времени возмущения играют важную роль в квантовой механике, поскольку они позволяют анализировать динамику системы, находящейся под воздействием внешних факторов. Использование метода возмущений дает возможность вычислять вероятности переходов, а также изучать влияние внешних полей на квантовые системы.