Калибровочные симметрии играют фундаментальную роль в формулировке взаимодействий в квантовой теории поля (КТП). Они являются локальными симметриями, соответствующими инвариантности лагранжиана относительно непрерывных преобразований, зависящих от координат пространства-времени. Эти симметрии приводят к существованию калибровочных бозонов, которые реализуют перенос взаимодействий между фермионами.
На классическом уровне, симметрии системы выражаются в сохранении соответствующих токов согласно теореме Нётер. В частности, локальные симметрии предполагают наличие сохраняющихся токов, сопряжённых калибровочным полям. Однако при переходе к квантовой теории, сохранение таких токов не всегда гарантировано: интегрирование по фермионным полям может порождать аномалии, ведущие к нарушению сохранения тока на квантовом уровне.
Аномалия — это квантовое нарушение классической симметрии, возникающее из-за неоднозначности в определении меры интеграла по траекториям или вследствие неинвариантности действия регуляризации. Классическим примером служит антисимметричное представление тока в треугольной петле (диаграмме), где участвуют три тока: два векторных и один аксиальный.
Впервые проблема аномалий была осознана в контексте π⁰ → γγ распада, где предсказания теории без учета аномалий не совпадали с наблюдаемым временем жизни нейтрального пиона. Этот процесс не запрещён, хотя классическая симметрия аксиального тока SU(2) предсказывала его запрещение. Это противоречие было устранено признанием квантовой аномалии аксиального тока.
Пусть j5μ = ψ̄γμγ5ψ — аксиальный ток, классически сохраняющийся при массе m = 0. Однако на квантовом уровне его дивергенция даёт:
$$ \partial_\mu j_5^\mu = \frac{e^2}{16\pi^2} \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu} F_{\rho\sigma} $$
Здесь Fμν — тензор электромагнитного поля, а ε — абсолютно антисимметричный символ Леви-Чивиты. Это выражение представляет собой аномалию Белла–Джекива и демонстрирует, что квантовая теория не сохраняет аксиальную симметрию, несмотря на её присутствие в классической лагранжиане.
Важно подчеркнуть, что сама калибровочная симметрия (векторный ток) сохраняется: только аксиальная симметрия нарушается. Однако в теории с несколькими фермионными компонентами, взаимодействующими с калибровочными полями, возможны аномалии калибровочных токов, и тогда возникает угроза неконсистентности теории.
В теориях с неабелевыми калибровочными группами, таких как SU(N), аномалии также могут возникать. Рассмотрим диаграмму с тремя внешними калибровочными токами, соответствующими полям Aμa, где a — индекс группы. В рамках КТП, эти токи могут быть представлены как:
Jaμ = ψ̄γμTaψ
где Ta — генераторы калибровочной группы.
Аномалия проявляется в виде ненулевой дивергенции:
∂μJaμ ∼ dabcFμνbF̃μν c
где dabc = Tr[{Ta, Tb}Tc] — симметрические константы структуры, а F̃μν — двойственный тензор поля.
Наличие аномалии означает, что теория утрачивает калибровочную инвариантность, а вместе с ней — и перенормируемость, и унитарность. Поэтому отсутствие аномалий калибровочных токов является необходимым условием согласованности квантовой теории поля.
В Стандартной модели (СМ) природы существует несколько калибровочных групп: SU(3) × SU(2) × U(1). Квантовая консистентность требует, чтобы сумма аномалий по всем фермионам в каждой диаграмме трёх токов обращалась в нуль.
Типы возможных аномалий:
В СМ каждая из этих аномалий исчезает при учете полного поколения фермионов, включая лептоны и кварки. Например, для гиперзарядной аномалии [U(1)Y]3 сумма кубов гиперзарядов всех левых и правых фермионов одного поколения равна нулю:
∑fermionsY3 = 0
Этот факт — глубокое подтверждение внутренней непротиворечивости СМ и указывает на то, что фермионные представления не являются произвольными, а строго определяются требованием обнуления аномалий.
Ключевым инструментом для анализа является треугольная диаграмма с тремя внешними токами: двумя векторными и одним аксиальным (AVV-анализ). Вычисление таких диаграмм требует регуляризации, при этом векторная инвариантность может быть сохранена, если жертвовать аксиальной.
Обычный способ — использовать регуляризацию ’t Hooft–Veltman с γ⁵, что позволяет контролировать нарушение аксиального тока, сохраняя калибровочную симметрию. При этом вольный выбор схемы регуляризации может привести к несовместимым теориям, поэтому физический результат требует согласованного способа устранения неоднозначностей.
В теориях, где аномалии возникают, возможны два подхода:
Другой путь — построение эффективной теории с Wess–Zumino–Witten термами, которые корректно воспроизводят структуру аномалий на низких энергиях.
Аномалии оставляют следы в физике низких энергий. Например:
Особое внимание уделяется аномалиям в теориях с правыми нейтрино или дополнительными U(1) группами: их наличие может привести к наблюдаемым нарушениям симметрий или запрещённым распадам.
Калибровочные аномалии — не просто технический артефакт регуляризации. Они имеют глубокую топологическую природу и связаны с индексной теоремой Атьи–Зингера. В частности, интеграл от F ∧ F (или FμνF̃μν) выражает топологический заряд калибровочной конфигурации (например, инстантона), и аномалия отображает несовместимость этого заряда с симметрией.
Аномалии также классифицируются с использованием когомологических методов, где консистентность теории требует точной структуры т.н. аномальной полиномиальной формы Черна–Саймонса.
Таким образом, анализ и контроль калибровочных аномалий являются неотъемлемой частью построения непротиворечивой квантовой теории поля.