Во многих квантовых теорий поля, особенно в безмассовых, классическое действие инвариантно относительно масштабных преобразований:
xμ → λxμ, ϕ(x) → λ−Δϕ(λx),
где Δ — каноническое масштабное измерение поля ϕ. Более того, в некоторых теориях инвариантность расширяется до полной конформной симметрии, включающей преобразования вида:
$$ x^\mu \to \frac{x^\mu - b^\mu x^2}{1 - 2 b \cdot x + b^2 x^2}, $$
что требует строгих условий на структуру теории, таких как отсутствие характерных масштабов и определённый вид взаимодействий. В классическом пределе масштабная инвариантность приводит к тому, что след тензора энергии-импульса T μμ обращается в нуль:
T μμ = 0.
Однако при переходе к квантовой теории это равенство может нарушаться — возникает аномалия следа, указывающая на спонтанное нарушение масштабной (и, следовательно, конформной) симметрии в процессе регуляризации и ренормализации.
Аномалия следа (trace anomaly) — это квантовое нарушение классического условия T μμ = 0. Хотя классическое действие может быть инвариантно относительно масштабных преобразований, путь интеграл по квантовым полям в общей ситуации не сохраняет эту симметрию, даже если отсутствуют массы. Причина заключается в необходимости введения регуляризации, которая почти неизбежно вносит характерный масштаб в теорию.
Физический смысл аномалии следа особенно ярко проявляется при рассмотрении теории на искривлённом фоне. Тензор энергии-импульса тогда приобретает нетривиальный след:
$$ \langle T^\mu_{\ \mu} \rangle = \frac{1}{(4\pi)^2} \left( c\, W_{\mu\nu\rho\sigma}^2 - a\, E_4 + b\, \Box R + \sum_i \beta_i \mathcal{O}_i \right), $$
где:
Наличие этих членов означает, что даже в безмассовой теории с конформной симметрией классически, квантовая теория содержит измеримый след в тензоре энергии-импульса, зависящий от кривизны пространства-времени и от бета-функций теории.
В случае плоского пространства-времени (Rμνρσ = 0) сохраняется существенная часть информации об аномалии. Например, даже в плоском пространстве:
⟨T μμ⟩ = ∑iβi(g)????i,
что напрямую связывает аномалию с бегом параметров теории. Это выражение говорит о том, что только в точке фиксированной точки РГ-потока, где βi = 0, след тензора может быть нулевым. Таким образом, наличие аномалии следа тесно связано с неинвариантностью квантовой теории при масштабных преобразованиях и с отсутствием фиксированной точки.
Это имеет прямое отношение к явлениям, наблюдаемым в квантовой хромодинамике (КХД). Несмотря на то, что классическая безмассовая КХД масштабно-инвариантна, квантовая теория содержит масштаб ΛQCD, возникающий из-за логарифмического бега сильной константы. Соответственно,
$$ \langle T^\mu_{\ \mu} \rangle = \frac{\beta(g)}{2g} F_{\mu\nu}^a F^{a\,\mu\nu}, $$
где Fμνa — тензор поля глюонов, а β(g) — бета-функция КХД. Таким образом, масштаб ΛQCD — прямое следствие аномалии следа.
Пусть действие S[ϕ] инвариантно при масштабных преобразованиях координат. Тогда вариация действия при изменении масштаба (в инфинитезимальной форме) может быть выражена через тензор энергии-импульса:
$$ \delta S = \int d^4x\, \delta g_{\mu\nu}(x) \frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}(x)} = -\frac{1}{2} \int d^4x\, \sqrt{-g}\, \delta g_{\mu\nu} \langle T^{\mu\nu} \rangle. $$
В частности, масштабное преобразование соответствует δgμν = 2σ(x)gμν, и тогда:
$$ \delta S = - \int d^4x\, \sqrt{-g} \, \sigma(x) \langle T^\mu_{\ \mu} \rangle. $$
Если квантовая теория не масштабно-инвариантна, то ⟨T μμ⟩ ≠ 0, что выражает присутствие аномалии.
Появление аномалии следа связано не с какими-либо конкретными взаимодействиями, а с необходимостью выбора регуляризации, нарушающей масштабную симметрию. Например:
Следовательно, аномалия — неизбежное следствие несовместимости регуляризации с симметрией, и она универсальна: не зависит от выбора конкретного метода.
Пусть квантовое эффективное действие Γ[gμν] определено на фоне метрики gμν. Тогда его вариация при масштабной трансформации метрики даёт:
$$ \delta \Gamma = \int d^4x \sqrt{-g}\, \sigma(x) \langle T^\mu_{\ \mu}(x) \rangle. $$
Таким образом, аномалия может быть получена как вариация эффективного действия под конформными преобразованиями. Особенно важно это в контексте аномальной Ward-тождеств, где аномалия появляется в правой части:
∂μSμ = T μμ,
где Sμ — ток масштабных преобразований. Если T μμ ≠ 0, то масштабная симметрия нарушена, и ток Sμ не сохраняется.
В четырёхмерных конформных теориях поля (КТП) важную роль играют коэффициенты a и c в разложении аномалии следа:
$$ \langle T^\mu_{\ \mu} \rangle = \frac{1}{(4\pi)^2} \left( c\, W_{\mu\nu\rho\sigma}^2 - a\, E_4 \right). $$
Эти коэффициенты:
Пример: для свободных полей в 4D коэффициенты a и c известны:
На практике аномалия следа имеет последствия в гравитационных теориях и космологии:
Также, в контексте AdS/CFT-соответствия, аномалия следа на граничной теории CFT соответствует структуре объемной гравитационной теории, где коэффициенты a и c связаны с гравитационными константами в пространстве AdS.
Аномалия следа — один из видов квантовых аномалий, наряду с:
Все они — проявления одного и того же механизма: невозможности регуляризации квантовой теории, одновременно сохраняющей все симметрии классического действия. Отличительной чертой аномалии следа является её глобальный характер: она существует даже в отсутствии внешних калибровочных полей, обусловлена ренормгрупповым бегом и имеет измеримые физические последствия, включая генерацию масштабов из “ничего” — так называемая динамическая генерация масштаба.