БРСТ-симметрия представляет собой важный концепт в теории квантовых полей, который играет ключевую роль в построении калибровочных теорий и понимании структуры квантованных теорий с ограничениями. Эта симметрия, введенная в конце 1970-х годов Брсом, Раем и Тюи, служит для разрешения проблем, возникающих при калибровке теорий, в частности, связанных с особенностями переопределения частиц и взаимодействий в квантовых теориях поля.
БРСТ-симметрия является универсальной для теорий с калибровочными полями, таких как электрослабая и квантовая хромодинамика (КХД). В этих теориях калибровочные поля описывают взаимодействия, и теория требует применения определённых методов для того, чтобы учесть калибровочные свободы и ограничения. Проблема заключается в том, что калибровочные симметрии, в отличие от других типов симметрий, не могут быть прямо интерпретированы как сохраняющиеся числа, потому что они приводят к лишним степеням свободы. БРСТ-симметрия позволяет работать с этими избыточными степенями свободы и обеспечивает корректность теории.
БРСТ-симметрия является обобщением традиционной калибровочной инвариантности. Ее цель — обработка редукции степеней свободы, вызванной избыточностью координат, которые присутствуют в теории с калибровочными полями.
Формально БРСТ-симметрия может быть введена через специальную операцию, называемую оператором БРСТ, обозначаемым как QBRST. Этот оператор действует на пространство состояний и определяется как дифференциал в контексте пространства Фоккера или пространства гильбертовых состояний. Он может быть определён через действие на фермионные и бозонные поля, которые отвечают за калибровочные степени свободы. В этом контексте можно сформулировать следующие важные уравнения для поля, которое инвариантно относительно БРСТ:
QBRST |ψ⟩ = 0
где |ψ⟩ — состояние в пространстве состояний.
Оператор БРСТ удовлетворяет важным алгебраическим свойствам:
Кососоотносительность: Оператор QBRST является кососоотносительным, то есть выполняется соотношение:
{QBRST, QBRST} = 0
Это означает, что оператор БРСТ является антикоммутативным при применении его дважды.
Связь с калибровочной группой: Оператор QBRST действует на редуцированные степени свободы, что позволяет решить проблему избыточных степеней свободы в контексте теории калибровки.
Действие на поля: В обычной ситуации поля (такие как фермионы или бозоны) при применении оператора БРСТ преобразуются в новые поля, которые соответствуют корректной редукции степеней свободы. Для этого используются фермионные суперполя и дополнительные конструкции, которые позволяют «вычислить» изменения в пространстве состояний, вызванные симметриями.
Одним из важных аспектов является то, что БРСТ-симметрия помогает в решении проблемы калибровочного избыточности, возникающей при переопределении уравнений движения. В квантовой теории поля, особенно в таких моделях как КХД или теории с суперсимметрией, требуется устранение этих избыточностей, поскольку они приводят к невозможности интерпретировать некоторые состояния как физические.
Применение БРСТ-симметрии позволяет сформулировать правильные уравнения движения, которые автоматически устраняют избыточности. В результате этого уменьшается количество независимых степеней свободы, и избыточные состояния, такие как ложные решения, исключаются из теории.
БРСТ-симметрия также играет важную роль в процессе ренормализации теорий поля. В традиционных калибровочных теориях ренормализация может приводить к появлению бесконечностей, однако использование БРСТ-симметрии помогает избежать этих проблем, обеспечивая правильную регуляцию и стабилизацию теории. Применение БРСТ-групповой структуры, совместно с техникой ренормализационных групп, помогает построить теории, которые обладают хорошими физическими свойствами, избегая возникновения физических парадоксов.
Суперсимметрия и суперполя: БРСТ-симметрия тесно связана с концепцией суперсимметрии, особенно в контексте суперпольной формализации. Суперсимметрии позволяют более элегантно решать вопросы редукции степеней свободы и избыточности.
Теория струн: В теории струн БРСТ-симметрия проявляется как ключевая часть общей структуры калибровочных теорий и необходима для соблюдения требований, связанных с инвариантностью относительно переноса через пространство-время.
Калибровочно-инвариантные теории: Для большинства калибровочно-инвариантных теорий, таких как электрослабая и КХД, использование БРСТ-симметрии является обязательным этапом в построении полных квантовых теорий.
Таким образом, БРСТ-симметрия представляет собой мощный инструмент в теории квантовых полей, который позволяет эффективно решать задачи, связанные с калибровочной избыточностью и переопределением степеней свободы. Благодаря своей универсальности и возможности комбинирования с другими методами, такими как ренормализация и суперсимметрия, она является важным элементом современной физики частиц и теории струн.