В суперструнной теории D-браны (или дираковские браны) — это объекты, на которых открытые струны могут оканчиваться. В частности, в теории с открытыми и закрытыми струнами Dp-брана — это (p+1)-мерное подмногообразие пространства-времени, на котором фиксированы граничные условия Дирихле для открытых струн. Индекс p указывает пространственное число измерений браны.
Открытые струны, закреплённые на D-бране, несут калибровочные поля и фермионы, что интерпретируется как локализованная эффективная теория поля на мире браны. Таким образом, D-браны являются носителями динамики и играют фундаментальную роль в нетривиальной связи между гравитацией и теорией калибровки.
D-браны не являются фундаментальными объектами теории, подобно струнам, а возникают как солитонные решения эффективной теории поля, в частности — как BPS-состояния в супергравитации, сохраняющие часть суперсимметрий. Эти объекты характеризуются тем, что минимизируют энергию при заданном заряде и потому являются устойчивыми. Ключевое значение имеют следующие аспекты:
Сопряжённость с рамионными полями. D-браны несут заряды по отношению к потенциалам Рамонда-Рама (RR) в суперструнной теории. Эти заряды определяются через обобщённую электромагнитную сопряжённость с формами Cp + 1, причём Dp-брана заряжена по отношению к (p + 1)-форме.
Сохранение суперсимметрии. BPS-условие Qϵ = 0 приводит к сохранению половины суперсимметрий, что делает такие конфигурации устойчивыми к квантовым коррекциям и важными для непертурбативного анализа.
Топологическая стабильность. Устойчивость D-бран обеспечивается квантованными топологическими числами, связанными с когомологиями пространства и K-теорией. Эти числа характеризуют, например, неаннулируемые потоки RR-поля.
В контексте десятимерной супергравитации Dp-браны реализуются как экстремальные решения с источником RR-поля. Их метрика имеет форму:
ds2 = H−1/2(r)ημνdxμdxν + H1/2(r)δijdyidyj,
где μ = 0, …, p, i = p + 1, …, 9, H(r) — гармоническая функция в поперечном пространстве, зависящая от расстояния до браны. Решение дополняется RR-потенциалом и дилатоном, например:
eϕ = gsH(3 − p)/4(r), Cp + 1 ∼ H−1(r).
Такие решения ассоциированы с напряжением Tp ∼ 1/gs, характерным для непертурбативных объектов.
Миробъем браны описывается полем Aμ (U(1)-калибровочным), фермионами и скалярными полями Xi, описывающими флуктуации браны в поперечном пространстве. Эффективное действие имеет форму действия Дирака–Борна–Инфельда (DBI) с поправками Весс–Зумино (WZ):
$$ S = -T_p \int d^{p+1}\xi\, e^{-\phi} \sqrt{-\det (g_{ab} + B_{ab} + 2\pi\alpha' F_{ab})} + \mu_p \int C \wedge e^{2\pi\alpha' F + B}, $$
где gab — индуцированная метрика, Fab — напряженность поля, B — NSNS-двухформа, C — RR-потенциалы. Эти действия сохраняют суперсимметрию и играют центральную роль в изучении динамики бран, их взаимодействий и дуальностей.
Наличие D-бран является необходимым элементом в реализации различных дуальностей:
T-дуальность: при компактификации вдоль координаты с граничными условиями Дирихле Dp-брана преобразуется в D(p±1)-брану. Например, при T-дуальности вдоль направления с граничным условием Неймана оно становится условием Дирихле, и наоборот.
S-дуальность: в типе IIB S-дуальность (глубокая симметрия между сильным и слабым режимом) преобразует фундаментальные струны в D1-браны, NS5-браны в D5-браны и наоборот.
U-дуальность: объединяет T- и S-дуальности, описывая глубокую структуру симметрий в теории М.
Таким образом, D-браны являются важными объектами, на которых строятся все современные понимания симметрий суперструнной теории.
Динамика открытых струн, оканчивающихся на D-бранах, приводит к возникновению на их миреобъёмах калибровочных теорий. Если на одной Dp-бране живёт U(1)-калибровочная теория, то в системе из N наложенных бран возникает теория U(N) с множеством полей, описывающих как поперечные колебания, так и взаимодействие между бранами.
При малых расстояниях между бран можно проанализировать их взаимодействие в терминах поля Янга–Миллса, возникающего как предел α′ → 0. В частности, действие, индуцированное DBI-действием, переходит в:
$$ S_{YM} = -\frac{1}{4g_{YM}^2} \int d^{p+1}x\, \text{Tr} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} + \dots, $$
где константа связи gYM2 ∼ gs(α′)(p − 3)/2.
Таким образом, D-браны обеспечивают непротиворечивую платформу для реализации калибровочной динамики, включая теории, аналогичные Стандартной модели.
Одним из важнейших применений D-бран является объяснение микроскопической энтропии черных дыр. В знаменитой работе Стромингера и Ваффа было показано, что конфигурации D1-D5-бран, с определённым количеством возбуждённых мод, обладают микроскопической энтропией, совпадающей с результатом по формуле Бекенштейна–Хокинга:
$$ S = \frac{A}{4G_N} = \log \mathcal{N}, $$
где ???? — число BPS-состояний в данной конфигурации. Это было первым успешным объяснением происхождения термодинамической энтропии чёрной дыры в рамках микроскопической квантовой теории.
В 11-мерной теории М объектами являются M2- и M5-браны. При компактификации на окружности и редукции к 10 измерениям, они переходят в D-браны теории типа IIA:
Таким образом, D-браны представляют собой “тени” более фундаментальных объектов в более высокой размерности, и являются ключом к пониманию связей между различными теориями струн и теорией М.
Классификация состояний D-бран осуществляется не просто когомологиями, а посредством K-теории — алгебраической конструкции, классифицирующей векторные расслоения. В частности, конфигурации Dp- и анти-Dp-бран, с наложением тахионного поля, могут аннигилировать, и возможные устойчивые конфигурации описываются классами K(X), где X — пространство, на котором определены браны.
Таким образом, заряд D-браны — это не просто интеграл формы RR-поля, а элемент группы K-теории. Это фундаментальное открытие позволило по-новому взглянуть на вопросы стабильности, аннигиляции и наличия обобщённых дефектов в струнной теории.
При включении постоянного фона B-поля (NSNS двухформы) в эффективной теории на D-бране появляется некоммутативная структура. Координаты удовлетворяют соотношению:
[xi, xj] = iθij,
где θij ∼ (B−1)ij. Это приводит к деформации поля Янга–Миллса в некоммутативную теорию поля, описываемую звёздочными произведениями (звёздными алгебрами). Такие модели оказываются физически непротиворечивыми и допускают дуальное описание в рамках обычной суперструнной теории.
Таким образом, D-браны позволяют включить в струнную теорию широкий спектр новых структур: от эффективной калибровочной динамики до некоммутативных пространств и топологических инвариантов.