Диаграммы Фейнмана — это графическое представление математических выражений, которые описывают взаимодействие элементарных частиц в квантовой теории поля. Они служат инструментом для вычисления амплитуд перехода, которые необходимы для нахождения вероятностей различных процессов взаимодействия. В случае скалярных полей эти диаграммы имеют определенные особенности, которые отличаются от диаграмм для более сложных полей, таких как фермионные или векторные.
Диаграммы Фейнмана состоят из нескольких ключевых элементов:
Линии частиц — они представляют собой траектории частиц, которые могут быть либо входными (первоначальные состояния), либо выходными (конечные состояния). В контексте скалярных полей, эти линии изображаются как непрерывные линии.
Вершины взаимодействия — точки, где происходят взаимодействия между частицами. В случае скалярных полей взаимодействие может быть связано с взаимодействием двух или более частиц через симметричные (или асимметричные) потенциальные функции.
Петли — петлевые диаграммы описывают такие процессы, как самовзаимодействие частиц, где частицы могут повторно взаимодействовать друг с другом.
Квантование поля — это процесс, при котором классическое поле заменяется на операторы, действующие на квантовое состояние. Для скалярного поля это может быть сделано через создание и разрушение операторов, которые действуют на квантовое состояние. В этом контексте поле описывается как сумма мод, и каждая модуль обладает определенной частотой и энергии.
Квантование скалярного поля приводит к следующей форме для поля:
$$ \phi(x) = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_k}} \left( a_k e^{ikx} + a_k^\dagger e^{-ikx} \right) $$
где ak и ak† — операторы уничтожения и создания, соответственно, Ek — энергия моды, и k — волновой вектор.
Взаимодействие между скалярными полями можно описать с помощью лагранжиана, который в случае простой теории может быть записан как:
$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - m^2 \phi^2) + \frac{\lambda}{4!} \phi^4 $$
Здесь ϕ4-термин описывает взаимодействие самих частиц поля, где λ — это постоянная взаимодействия, которая контролирует силу взаимодействия.
Диаграммы Фейнмана для скалярного поля можно использовать для нахождения амплитуд перехода для различных процессов, таких как рассеяние и создание частиц. Для простого взаимодействия, например, ϕ4-теории, диаграммы будут содержать только однотипные вершины, которые изображаются в виде точки, соединяющей четыре линии.
Пример: Рассеяние двух скалярных частиц
Для теории ϕ4-поля рассеяние двух скалярных частиц ϕ + ϕ → ϕ + ϕ будет представлено диаграммой с одной вершиной и четырьмя линиями, исходящими из нее. Это происходит из-за того, что в самом взаимодействии участвуют четыре скалярные частицы. Амплитуда рассеяния для этой диаграммы будет пропорциональна постоянной взаимодействия λ.
Процесс рассеяния может быть изображен следующим образом:
Математическое выражение для амплитуды перехода можно записать как:
ℳ = −iλ
где λ — это константа взаимодействия.
Для более сложных процессов, таких как множественные взаимодействия или процессы с петлями, необходимо использовать более сложные диаграммы. В этом случае важно учитывать, как различные диаграммы суммируются для получения общей амплитуды перехода. Часто для более высоких порядков вычислений используют правило, согласно которому каждый дополнительный внутренний контур в диаграмме увеличивает порядок расходимости в теории.
Диаграмма с одной петлей: Представляет процесс, где частица взаимодействует сама с собой, создавая петлю внутри диаграммы. Это может происходить, например, в процессе самовзаимодействия скалярного поля.
Диаграмма с двумя вершинами: Это более сложный процесс, включающий два отдельных взаимодействия, которые могут быть реализованы, например, через два скалярных поля, взаимодействующих через обмен виртуальными частицами.
Диаграммы Фейнмана являются неотъемлемой частью теории квантового поля, предоставляя эффективный и наглядный способ для вычисления амплитуд перехода и вероятностей различных взаимодействий. Для скалярных полей они позволяют ясно описывать как простые, так и более сложные взаимодействия, такие как рассеяние и самовзаимодействие.