Континуальные квантовые теории поля, в которых поля определяются на непрерывном пространственно-временном многообразии, требуют перехода к дискретной форме для численного анализа, регуляризации ультрафиолетовых расходимостей и не perturbативных вычислений. Дискретизация осуществляется посредством замены непрерывного многообразия решеткой — регулярной или нерегулярной — с конечным числом узлов, где поля определяются в точках решетки или на ее ячейках.
Пусть ℝd заменяется на гиперкубическую решетку с шагом a, то есть множество узлов определяется как
x = an, n ∈ ℤd.
Континуальные поля ϕ(x) заменяются на ϕn = ϕ(an). Производные заменяются конечно-разностными выражениями:
$$ \partial_\mu \phi(x) \rightarrow \frac{1}{a} \left( \phi_{n+\hat{\mu}} - \phi_n \right), $$
где μ̂ — единичный вектор в направлении μ.
Рассмотрим скалярную теорию с лагранжианом
$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)^2 + \frac{1}{2} m^2 \phi^2 + \frac{\lambda}{4!} \phi^4. $$
В дискретной форме действие принимает вид:
$$ S = a^d \sum_n \left[ \frac{1}{2a^2} \sum_\mu (\phi_{n+\hat{\mu}} - \phi_n)^2 + \frac{1}{2} m^2 \phi_n^2 + \frac{\lambda}{4!} \phi_n^4 \right]. $$
Таким образом, кинетический член заменяется на выражение, зависящее от ближайших соседей, а взаимодействие и массовый член остаются локальными.
Для конечных решеток необходимо задание граничных условий. Чаще всего используются периодические граничные условия:
ϕn + Nμ̂ = ϕn,
где N — число узлов в направлении μ. Это обеспечивает трансляционную инвариантность на решетке и пригодность для преобразования Фурье.
Объем системы в физическом пространстве — это V = (Na)d, а в пределе a → 0, N → ∞ при фиксированном V восстанавливается континуальная теория.
Переход к дискретной форме функционального интеграла:
Z = ∫????ϕ e−S[ϕ] → ∫∏ndϕn e−S[{ϕn}].
Теперь мера интегрирования становится конечномерной, что делает численные вычисления возможными. В эвклидовом формализме экспонента становится загасающей, что позволяет использовать методы важности выборки и симуляций.
Фермионы требуют более осторожного подхода при дискретизации, поскольку наивная дискретизация приводит к удвоению фермионных степеней свободы. Простейшая дискретизация:
$$ \partial_\mu \psi(x) \rightarrow \frac{1}{2a} \left( \psi_{n+\hat{\mu}} - \psi_{n-\hat{\mu}} \right) $$
даёт правильный результат в пределе a → 0, но приводит к появлению 2d фермионных мод вместо одной. Это явление называется проблемой удвоения фермионов (fermion doubling).
Для её устранения применяются различные подходы:
$$ \delta S = -\frac{ar}{2} \sum_{n, \mu} \bar{\psi}_n (\psi_{n+\hat{\mu}} - 2\psi_n + \psi_{n-\hat{\mu}}) $$
где r — параметр Вилсона. Он устраняет лишние моды, но нарушает хиральную симметрию.
Фермионы Когена–Сассмана (staggered fermions): части компоненты фермионных полей распределяются по разным узлам решетки, что сохраняет часть хиральной симметрии.
Неймановые и доменные фермионы: применяются в более сложных решеточных теориях с сохранением хиральности.
Для калибровочных теорий необходимо сохранить локальную калибровочную инвариантность. Это достигается посредством введения переменных связи:
Un, μ = eiagAμ(n) ∈ G,
где G — калибровочная группа, например, SU(N). Эти переменные определяются на ребрах решетки и заменяют непрерывные калибровочные поля.
Калибровочная инвариантность реализуется через параллельный перенос:
ϕn + μ̂ → Un, μϕn + μ̂.
Кинетический член для калибровочного поля формируется из плакетов:
Uμν(n) = Un, μUn + μ̂, νUn + ν̂, μ−1Un, ν−1,
а действие Янга–Миллса принимает вид:
$$ S_G = \frac{2}{g^2} \sum_{n,\mu<\nu} \text{Re}\, \text{Tr}\left(1 - U_{\mu\nu}(n)\right). $$
Такой подход называется формализмом Вильсона для калибровочных решеточных теорий.
Дискретизированная теория считается регуляризованной: все степени свободы конечны, все интегралы конечны. Возврат к континуальной теории осуществляется в пределе a → 0, при этом параметры теории (масса, заряд, постоянные связи) подлежат перенормировке:
m02(a) = Zm(a)m2 + δm(a), λ0(a) = Zλ(a)λ + δλ(a).
Только после перенормировки можно безопасно перейти к пределу непрерывного пространства. При этом может возникать асимптотическая свобода или конформная инвариантность.
Решеточная формализация используется в численных экспериментах. Наиболее известное применение — решеточная КХД, в которой вычисляются свойства адронов, спектр, масс, формфакторы и т. д. Интеграл по конфигурациям поля заменяется на статистическую выборку с помощью алгоритма Метрополиса, HMC (Hybrid Monte Carlo) и других.
Огромным преимуществом является то, что взаимодействия не обязательно должны быть слабыми: возможна работа в сильносвязанных режимах.
Решеточная дискретизация нарушает непрерывные симметрии, такие как трансляции, вращения, масштабные преобразования. Однако:
Принципиально важно понимать, какие симметрии восстанавливаются в континуальном пределе, так как от этого зависит физическая интерпретация численных результатов.
Для восстановления физических наблюдаемых требуется правильное построение операторов. Например, для поля ϕ двухточечная корреляционная функция:
C(x) = ⟨ϕ(0)ϕ(x)⟩
на решетке определяется как среднее по ансамблю конфигураций. Масса частицы извлекается из экспоненциального затухания корреляции во времени:
C(t) ∼ e−mt, t → ∞.
Такое поведение позволяет численно извлекать спектральную информацию из решеточной симуляции.
Фундаментальная концепция — универсальность: разные дискретные реализации одной и той же континуальной теории могут приводить к одинаковым физическим результатам при a → 0. Это означает, что точная форма решетки, выбор разностных аппроксимаций или реализация калибровочной симметрии не влияют на физику в пределе континуума.
Основной критерий — совпадение ренормированных наблюдаемых. Поэтому решеточная дискретизация является мощным методом, не только для регуляризации, но и для проверки физических гипотез, включая фазовые переходы, конфайнмент, спонтанное нарушение симметрий и динамическое образование масс.