Каноническая структура двумерной конформной теории поля
В двумерной квантовой теории поля группа конформных преобразований значительно богаче, чем в размерностях d > 2. Это связано с особенностями структуры метрики на двумерном многообразии: локальные масштабные преобразования (вириальные трансформации) могут быть обобщены до произвольных аналитических отображений.
В евклидовой метрике двумерного пространства (z, z̄), где
z = x + iy, z̄ = x − iy,
конформные преобразования определяются как голоморфные и антиголоморфные отображения:
z ↦ f(z), z̄ ↦ f̄(z̄),
где f(z) и f̄(z̄) — произвольные аналитические функции. Таким образом, группа симметрий состоит из двух независимых копий алгебры аналитических векторных полей, что приводит к появлению двух независимых алгебр Вирасоро.
Генераторы конформных преобразований можно представить в виде операторов ln и l̄n, действующих как
ln = −zn + 1∂z, l̄n = −z̄n + 1∂z̄.
Эти операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям классической алгебры Витта:
[ln, lm] = (n − m)ln + m, [l̄n, l̄m] = (n − m)l̄n + m, [ln, l̄m] = 0.
Однако в квантовой теории эти алгебры допускают центральное расширение. Полученные коммутаторы образуют алгебру Вирасоро:
$$ [L_n, L_m] = (n - m) L_{n+m} + \frac{c}{12}(n^3 - n) \delta_{n+m, 0}, $$
где c — центральный заряд, характеризующий квантовые аномалии.
В двумерной конформной теории поля тензор энергии-импульса Tμν распадается на голоморфную и антиголоморфную части:
T(z) ≡ Tzz(z), T̄(z̄) ≡ Tz̄z̄(z̄).
Они удовлетворяют условиям аналитичности:
∂z̄T(z) = 0, ∂zT̄(z̄) = 0.
Разложение T(z) в ряды Лорана даёт генераторы алгебры Вирасоро:
$$ T(z) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} \frac{L_n}{z^{n+2}},\quad \bar{T}(\bar{z}) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} \frac{\bar{L}_n}{\bar{z}^{n+2}}. $$
Поле ϕ(z, z̄) называется первичным с весами (h, h̄), если при конформном преобразовании z ↦ f(z) оно трансформируется следующим образом:
$$ \phi(z, \bar{z}) \mapsto \left( \frac{df}{dz} \right)^{-h} \left( \frac{d\bar{f}}{d\bar{z}} \right)^{-\bar{h}} \phi(f(z), \bar{f}(\bar{z})). $$
Эти поля определяют фундаментальные представления алгебры Вирасоро. Их поведение при действии генераторов Ln задаётся соотношениями:
[Ln, ϕ(z)] = (zn + 1∂z + h(n + 1)zn)ϕ(z),
а аналогично и для L̄n с заменой z → z̄, h → h̄.
Корреляционные функции первичных полей строго ограничены симметрией. Например, двухточечная функция имеет вид:
$$ \langle \phi_1(z_1, \bar{z}_1) \phi_2(z_2, \bar{z}_2) \rangle = \delta_{h_1,h_2} \delta_{\bar{h}_1,\bar{h}_2} \frac{C_{12}}{(z_1 - z_2)^{2h}( \bar{z}_1 - \bar{z}_2)^{2\bar{h}}}, $$
где C12 — константа нормировки.
Трёхточечная функция фиксируется с точностью до коэффициента структуры:
$$ \langle \phi_1(z_1) \phi_2(z_2) \phi_3(z_3) \rangle = \frac{C_{123}}{z_{12}^{h_1 + h_2 - h_3} z_{13}^{h_1 + h_3 - h_2} z_{23}^{h_2 + h_3 - h_1}}, $$
где zij = zi − zj.
Четырёхточечные функции зависят от кросс-ратио:
$$ x = \frac{(z_1 - z_2)(z_3 - z_4)}{(z_1 - z_3)(z_2 - z_4)}, $$
и могут быть разложены в блоки конформных представлений.
Четырёхточечные функции разлагаются в сумму по промежуточным представлениям:
$$ \langle \phi_1 \phi_2 \phi_3 \phi_4 \rangle = \sum_p C_{12p} C_{34p} \, \mathcal{F}_p(x) \bar{\mathcal{F}}_p(\bar{x}), $$
где ℱp(x) — конформные блоки, соответствующие конкретным промежуточным первичным полям ϕp. Их форма зависит только от представления алгебры Вирасоро и определяет аналитическую структуру корреляционной функции.
В теории с полной конформной инвариантностью на сфере эти блоки удовлетворяют дифференциальным уравнениям, которые вытекают из условий на вакуумное представление и из алгебры Вирасоро. Такие уравнения можно использовать для анализа структуры операторной алгебры.
Унитарные представления алгебры Вирасоро с c < 1 строго классифицированы. Они возможны лишь для дискретного набора значений центрального заряда:
$$ c = 1 - \frac{6}{m(m+1)},\quad m = 3,4,5,\dots, $$
а соответствующие допустимые значения весов:
$$ h_{r,s} = \frac{[(m+1)r - m s]^2 - 1}{4 m(m+1)},\quad 1 \leq r < m,\ 1 \leq s < m+1. $$
Такие представления возникают в минимальных моделях двумерной конформной теории поля, каждая из которых имеет конечное число первичных полей и закрытую операторную алгебру.
Операторное разложение двух первичных полей при приближении точек имеет вид:
ϕi(z, z̄)ϕj(0, 0) ∼ ∑kCijkzhk − hi − hjz̄h̄k − h̄i − h̄jϕk(0, 0) + …
Где суммирование идёт по всем полям, которые могут появиться в операторной алгебре. Это разложение определяет структуру алгебры и играет ключевую роль в конформном бутстрапе — методе, основанном на самосогласованности OPE и симметрии.
При квантовании на пространстве с топологией тора (например, компактное время и пространство), возникают условия модульной инвариантности на полную функцию раз partition:
Z(τ, τ̄) = Tr(qL0 − c/24q̄L̄0 − c/24), q = e2πiτ.
Требование инвариантности Z(τ, τ̄) относительно преобразований модуля $\tau \mapsto \frac{a\tau + b}{c\tau + d}$ (где ad − bc = 1) приводит к сильным ограничениям на спектр теории. В частности, оно требует, чтобы спектр весов и алгебра операторов формировали представления, замкнутые относительно модульной трансформации.
Свободная компактная бозонная теория описывается действием:
$$ S = \frac{1}{4\pi} \int d^2x\, (\partial_\mu \phi)^2, $$
где поле ϕ ∼ ϕ + 2πR периодично. Эта теория имеет континуальный спектр весов, зависящих от импульса и обвитий вокруг круга. Центральный заряд: c = 1.
Минимальные модели, напротив, описывают дискретные спектры, и центральный заряд квантован. Примеры включают модель Изинга ( c = 1/2 ), трикритическую модель, модель Поттса и другие.
Центральный заряд c не только входит в алгебру Вирасоро, но и характеризует степень свободы системы. Он проявляется, например, в аномальной трансформации тензора энергии-импульса при отображении между метриками:
$$ T(z) \mapsto T(w) = \left( \frac{dz}{dw} \right)^2 T(z) + \frac{c}{12} \{ z, w \}, $$
где {z, w} — производная Шварца. Это выражение лежит в основе вычисления эффектов Казимира, центральных зарядов и других глобальных явлений.
Конформный бутстрап использует условия на согласованность OPE и симметрий, включая ассоциативность и модульную инвариантность, чтобы полностью зафиксировать структуру теории. В ряде случаев (например, для минимальных моделей) эти условия настолько жёстки, что теория полностью определена без обращения к лагранжиану. Это уникальное свойство двумерной конформной теории поля делает её мощным инструментом в изучении критических явлений, струн и адронной физики.