В квантовой теории поля ключевым объектом является вакуумное состояние — наименьшее энергетическое состояние, определённое в данной системе отсчёта. Однако в неинерциальных (ускоренных) системах отсчёта понятие вакуума теряет универсальность. Эффект Унру демонстрирует, что наблюдатель, движущийся с постоянным ускорением, будет регистрировать не пустоту, а тепловое излучение, даже если инерциальный наблюдатель фиксирует вакуум. Это явление фундаментально связано с горизонтом Риндлера и расщеплением глобальной вакуумной структуры.
Рассмотрим наблюдателя, движущегося с постоянным ускорением a вдоль оси x. Его мировая линия в пространстве Минковского описывается уравнением:
x2 − t2 = a−2
Это движение можно параметризовать собственным временем τ и координатами Риндлера (η, ξ), которые связаны с координатами Минковского следующим образом:
$$ \begin{aligned} t &= \xi \sinh(a \eta) \\ x &= \xi \cosh(a \eta) \end{aligned} $$
Метрика Минковского в этих координатах принимает вид:
ds2 = −a2ξ2dη2 + dξ2 + dy2 + dz2
Координаты Риндлера покрывают только правый клин (R) пространства Минковского: область x > |t|. Ускоренный наблюдатель не может причинно взаимодействовать с событиями вне этого клина, что приводит к возникновению горизонта Риндлера — границы, за которую не распространяются сигналы.
Квантовое скалярное поле ϕ(x) можно разложить по модам Минковского:
ϕ(x) = ∫d3k(akuk(x) + ak†uk*(x))
где uk(x) — плоские волны, определённые в глобальной инерциальной системе. Однако в клине Риндлера поле можно разложить в другой базис, состоящий из мод Риндлера:
ϕ(x) = ∫0∞dω(bωψω(x) + bω†ψω*(x))
Здесь ψω(x) ∼ e−iωη — собственные функции времени Риндлера. Операторы bω и ak связаны преобразованием Боголюбова. Это приводит к нетривиальному вакууму: вакуум Минковского |0M⟩ не совпадает с вакуумом Риндлера |0R⟩.
При вычислении средних значений операторов числа частиц в вакууме Минковского, используя риндлеровские операторы, обнаруживается:
$$ \langle 0_M | b_\omega^\dagger b_\omega | 0_M \rangle = \frac{1}{e^{2\pi \omega / a} - 1} $$
Это соответствует бозе-эйнштейновской тепловой спектральной плотности с температурой:
$$ T_U = \frac{a}{2\pi} $$
Температура Унру TU — это температура, которую измерит ускоренный наблюдатель в пустом, с его точки зрения, пространстве. Это — прямой аналог эффекта Хокинга для черных дыр, где наблюдатель вне горизонта регистрирует тепловое излучение.
Для формального описания восприятия квантового поля ускоренным наблюдателем используется модель детектора Унру–Девиса. Это двухуровневая система (например, спин или атом), движущаяся по ускоренной траектории и взаимодействующая с квантовым полем через гамильтониан взаимодействия:
Hint = c m(τ)ϕ(x(τ))
где m(τ) — оператор перехода между уровнями детектора, ϕ(x(τ)) — поле вдоль траектории детектора. Вероятность возбуждения детектора вычисляется с помощью функции отклика:
ℱ(ω) = ∫−∞∞dτ∫−∞∞dτ′e−iω(τ − τ′)⟨0M|ϕ(x(τ))ϕ(x(τ′))|0M⟩
Для равномерного ускорения функция отклика даёт:
$$ \mathcal{F}(\omega) \propto \frac{1}{e^{2\pi \omega / a} - 1} $$
что снова соответствует тепловому спектру с температурой TU. Таким образом, ускоренный детектор возбуждается как будто бы в термальном поле.
Аналогия между эффектом Унру и излучением Хокинга заключается в появлении горизонтов и модовой декомпозиции поля: в обоих случаях квантовые моды, определённые в одной системе координат, не совпадают с модами в другой. Появление смешанных состояний и термальных плотностных матриц связано с интегрированием по недоступным областям пространства-времени (например, левый клин Л в случае Риндлера).
Энтропия, ассоциированная с этой редуцированной плотностной матрицей, интерпретируется как энтропия Унру, подобная энтропии Бекенштейна–Хокинга. Такое сходство подчеркивает глубинную связь между квантовой теорией поля, гравитацией и термодинамикой.
Эффект Унру иллюстрирует, что понятие частицы и вакуума не является абсолютным в КТП: оно зависит от траектории наблюдателя. Это подрывает наивную интуицию о том, что «ничего» — это объективная характеристика.
Физически эффект Унру чрезвычайно слаб: чтобы зарегистрировать температуру в 1 Кельвин, требуется ускорение порядка 1020 м/с2, поэтому экспериментальная реализация крайне затруднительна. Тем не менее, это важный концептуальный результат, с глубокими следствиями для:
С помощью детекторов Унру возможно также изучение и других нетривиальных состояний поля, например, при наличии границ (зеркала), пространственно-временных дефектов или флуктуаций геометрии. Такие детекторы предоставляют удобный инструмент для неинерциальной квантовой феноменологии.
Рассмотрение поля как состоящего из правого и левого клина Риндлера приводит к представлению вакуума Минковского как запутанного состояния между этими двумя областями:
|0M⟩ ∝ ∏ω∑ne−πωn/a|nω⟩R|nω⟩L
При трассировке по левому клину, риндлеровский наблюдатель видит смешанное состояние, с термальной плотностной матрицей. Это запутанность играет фундаментальную роль в термодинамике горизонтов, и лежит в основе гипотез о голографии и энтропии горизонта.