Классическим методом анализа квантовой теории поля, особенно в нелинейных и самодействующих теориях, является метод фонового поля (background field method). Этот подход позволяет сохранять симметрии теории (в частности, калибровочную инвариантность) на всех стадиях вычислений и, более того, формулировать эффективное действие с учётом квантовых флуктуаций вокруг классического фона.
Рассмотрим квантовое поле ϕ, взаимодействующее с внешним классическим полем ϕ̄, которое мы интерпретируем как фоновое. Поле ϕ представим как сумму фона и квантового флуктуирующего отклонения:
ϕ(x) = ϕ̄(x) + η(x)
где η(x) — квантовая флуктуация, интегрируемая в функциональном интеграле. Цель метода — вычислить эффективное действие Γ[ϕ̄], которое включает все квантовые поправки, и обладает следующей важной особенностью:
$$ \frac{\delta \Gamma[\bar{\phi}]}{\delta \bar{\phi}(x)} = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{уравнение движения для полного квантового поля} $$
Производящий функционал связанных диаграмм W[J], определяемый как логарифм обычного функционала Z[J], связан с эффективным действием посредством преобразования Лежандра:
Γ[ϕc] = W[J] − ∫d4x J(x)ϕc(x)
где классическое поле определяется как:
$$ \phi_c(x) = \frac{\delta W[J]}{\delta J(x)} $$
Таким образом, эффективное действие Γ[ϕc] является квантово-корректированным аналогом классического действия S[ϕ], и в пределе ℏ→0 переходит в него.
В теориях с симметрией, например, в φ⁴-теории, особое значение приобретает эффективный потенциал Vэфф(ϕ̄), определяемый как плотность эффективного действия в случае постоянного фонового поля:
Γ[ϕ̄] = −∫d4x Vэфф(ϕ̄)
Этот объект играет центральную роль в анализе стабильности вакуума, спонтанного нарушения симметрии, фазовых переходов и других физических явлений.
Для однородного поля ϕ̄(x) = ϕ0 = const вычисление эффективного потенциала особенно просто, поскольку производящие функционалы сводятся к обычным интегралам.
Рассмотрим скалярное поле с лагранжианом:
$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu \phi)^2 - \frac{1}{2}m^2 \phi^2 - \frac{\lambda}{4!}\phi^4 $$
Фоновое поле выберем постоянным: ϕ(x) = ϕ0 + η(x), где η(x) — квантовое возмущение. Подставим в действие и разложим его по степеням η. Однопетлевая поправка к эффективному потенциалу будет выражаться как:
$$ V_{\text{эфф}}^{(1)}(\phi_0) = \frac{1}{2} \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \ln \left[k^2 + M^2(\phi_0)\right] $$
где
$$ M^2(\phi_0) = m^2 + \frac{\lambda}{2}\phi_0^2 $$
Этот интеграл логарифмически ультрафиолетово расходится и требует регуляризации. В рамках размерного регуляризации:
$$ V_{\text{эфф}}^{(1)}(\phi_0) = \frac{M^4(\phi_0)}{64\pi^2} \left(\ln \frac{M^2(\phi_0)}{\mu^2} - \frac{3}{2} \right) $$
Полный эффективный потенциал с учётом однопетлевой поправки:
$$ V_{\text{эфф}}(\phi_0) = \frac{1}{2}m^2 \phi_0^2 + \frac{\lambda}{4!}\phi_0^4 + \frac{M^4(\phi_0)}{64\pi^2} \left(\ln \frac{M^2(\phi_0)}{\mu^2} - \frac{3}{2} \right) $$
Глобальный минимум Vэфф(ϕ0) определяет истинный вакуум теории. Если минимум смещается от ϕ0 = 0, это указывает на спонтанное нарушение симметрии.
Также эффективный потенциал позволяет исследовать фазовые переходы: если потенциал имеет несколько минимумов при разных значениях параметров (например, температуры), возможен фазовый переход первого рода. Вблизи критической точки могут наблюдаться квантовые флуктуации, приводящие к неаналитичностям в Vэфф(ϕ0).
При рассмотрении калибровочных теорий метод фонового поля требует аккуратного обращения с калибровочной симметрией. В частности, важно сохранить инвариантность эффективного действия при одновременных преобразованиях фонового и квантового поля.
Вводится модифицированная калибровочная фиксация, зависящая от фонового поля, например:
$$ \mathcal{L}_{\text{g.f.}} = -\frac{1}{2\xi} (\bar{D}_\mu a^\mu)^2 $$
где D̄μ — ковариантная производная, построенная по фоновому полю, а aμ — квантовая часть поля.
Такое определение сохраняет фоновую калибровочную инвариантность и делает вычисление β-функций, ренормгрупповых уравнений и других квантовых объектов более организованным.
Формула для эффективного потенциала на одном петлевом уровне может быть получена из функционального интеграла после квадратилизации действия по квантовому возмущению:
∫????η ei∫d4x η(x)Ôη(x) ∝ [det (Ô)]−1/2
Таким образом, вклад к эффективному действию (и потенциалу) от интегрирования по квантовым полям сводится к вычислению логарифма определителя оператора возмущений.
Переход к квантовой теории поля при конечной температуре реализуется заменой временной оси на компактный отрезок длины β = 1/T, и введением периодических (для бозонов) или анти-периодических (для фермионов) граничных условий. Тогда сумма по модам КК (Компактифицированной временной оси) даёт модифицированный эффективный потенциал:
Vэфф(T, ϕ0) = VэффT = 0(ϕ0) + ΔVT(ϕ0)
где ΔVT зависит от температуры и отвечает за термические флуктуации. При высоких температурах возможны фазовые переходы, например, восстановление симметрии, если минимум эффективного потенциала смещается обратно к ϕ0 = 0.
Эффективный потенциал играет важнейшую роль в анализе электрослабой симметрии, динамики инфляции и моделей новой физики. Например, в Стандартной модели нестабильность вакуума Хиггса анализируется через форму Vэфф(ϕ) при больших значениях поля. РГ-импрувмент (включение бегущих констант в Vэфф) позволяет получить более точные предсказания масштабов возможной нестабильности.
В теории суперсимметрии и супергравитации эффективный потенциал связан с суперпотенциалом и кинетической функцией, и отвечает за структуру спонтанного нарушения SUSY.
Эффективный потенциал подвержен логарифмическим квантовым поправкам, что при больших ϕ может нарушить сходимость теории. Решение — применение ренормгрупповых уравнений и улучшение потенциала:
$$ \left(\mu \frac{\partial}{\partial \mu} + \beta_\lambda \frac{\partial}{\partial \lambda} + \gamma \phi \frac{\partial}{\partial \phi} + \cdots \right) V_{\text{эфф}} = 0 $$
Решение этого уравнения позволяет «суммировать» ведущие логарифмы и получить более устойчивое поведение потенциала на всех масштабах. Особенно важно это в теориях великого объединения и инфляционных моделях, где потенциальная энергия доминирует в ранней Вселенной.