Функциональный анализ представляет собой область математики, которая занимается изучением линейных операторов и функционалов, действующих в бесконечномерных пространствах. В контексте квантовой теории поля (КТП) он становится основным инструментом для описания взаимодействий полей и частиц. В основе этой теории лежит использование гильбертовых пространств для моделирования состояний системы и операторов для представления физических наблюдаемых величин.
Гильбертово пространство — это полное внутренне произведенное пространство, в котором можно вводить скалярное произведение. В КТП, состояния поля (например, поля фотонов или электронов) представлены как векторы в гильбертовом пространстве. Это пространство является бесконечномерным, что отражает необходимость учитывать бесконечное количество возможных состояний системы, таких как энергия, импульс, и другие физические величины.
Формально гильбертово пространство обозначается как H, и его элементы ψ ∈ H могут быть описаны как функции (или распределения) на пространстве, где операция скалярного произведения задается выражением:
⟨ψ|ϕ⟩ = ∫−∞∞ψ*(x)ϕ(x) dx
Здесь ψ*(x) — комплексное сопряжение функции ψ(x), и интеграл берется по всей области, где определены функции ψ и ϕ.
Операторы играют ключевую роль в квантовой теории поля, так как они соответствуют измеримым физическим величинам. Основными типами операторов, используемых в КТП, являются:
Операторы могут быть классифицированы как эрмитовы и неэрмитовы:
Эрмитовы операторы Â удовлетворяют условию:
 = †
где † — это эрмитово сопряженный оператор. Эрмитовы операторы соответствуют наблюдаемым величинам, так как их собственные значения всегда вещественные.
Неэрмитовы операторы — могут иметь комплексные собственные значения и используются для описания динамики, например, в квантовой теории поля — для описания эволюции состояний или взаимодействий.
В квантовой теории поля поля могут быть описаны как операторы, действующие в гильбертовом пространстве. Рассмотрим операторы поля для одномерного квантованного поля ϕ(x), которое может быть записано как сумму операторов, соответствующих различным частотам или волновым векторам. Оператор поля может быть представлен в виде разложения по нормированным модам:
$$ \hat{\phi}(x) = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_k}} \left( \hat{a}_k e^{ikx} + \hat{a}_k^\dagger e^{-ikx} \right) $$
Здесь âk и âk† — операторы аннигиляции и создания, соответственно, которые действуют на вакуумное состояние и создают или уничтожают квантовые возбуждения поля с определенным волновым вектором k. Эти операторы также являются эрмитовыми операторами, поскольку их собственные значения связаны с числом частиц в системе.
Основной структурой, с которой мы работаем в квантовой теории поля, является алгебра операторов. Для поля, представленное операторами аннигиляции и создания, существует важная коммутативная (или антикоммутативная) алгебра, которая регулирует взаимодействие этих операторов:
Для бозонных полей (например, фотонов) операторы аннигиляции и создания удовлетворяют коммутаторному соотношению:
[âk, âq†] = δ3(k − q)
Это выражение задает структуру алгебры бозонных полей, в которой операторы создания и уничтожения коммутируют друг с другом.
Для фермионных полей (например, электронов) используется антикоммутаторное соотношение:
{b̂k, b̂q†} = δ3(k − q)
Это соотношение характерно для фермионных полей и описывает статистику Паули.
Эти соотношения позволяют описывать основные квантовые свойства поля, такие как статистика частиц (бозоны или фермионы), и являются основой для построения теории взаимодействий и вычислений в квантовой теории поля.
Операторы в квантовой теории поля также позволяют описать динамику системы. Эволюция состояния в квантовой механике задается уравнением Шрёдингера:
$$ i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \left| \psi(t) \right\rangle = \hat{H} \left| \psi(t) \right\rangle $$
где Ĥ — гамильтониан системы, который в КТП часто выражается через операторы поля и операторы импульса, описывающие взаимодействие поля с внешними источниками.
Для квантового поля гамильтониан может быть записан в виде интеграла по всем точкам пространства, содержащего операторы поля и их производные. Например:
$$ \hat{H} = \int d^3x \, \frac{1}{2} \left( \pi(x)^2 + (\nabla \phi(x))^2 + m^2 \phi(x)^2 \right) $$
где π(x) — это оператор канонического импульса, сопряженный к полю ϕ(x), и m — масса частицы, ассоциированная с полем.
Квантовая теория поля также изучает взаимодействия между различными полями. Эти взаимодействия обычно включают взаимодействие через обмен частиц, что математически выражается через взаимодействующие операторы в гамильтониане. Например, взаимодействие между электрическим и магнитным полем можно описать через оператор взаимодействия в гильбертовом пространстве.
Класическим примером такого взаимодействия является взаимодействие поля с источником, которое можно выразить через добавление члена в гамильтониан, который зависит от оператора поля и внешнего источника:
Ĥвзаим = −∫d3x ϕ(x)J(x)
где J(x) — внешний источник, который взаимодействует с полем ϕ(x).
Функциональный анализ и операторы в гильбертовом пространстве являются основой для построения квантовой теории поля, предоставляя мощные математические инструменты для описания динамики и взаимодействий квантовых полей. Понимание структуры операторов и их алгебраических свойств необходимо для разработки более сложных теорий, таких как квантовая электродинамика, теория струны и другие области теоретической физики.