Голографический принцип утверждает, что полное описание квантовой теории гравитации в некотором $(d+1)$-мерном объёме пространства может быть эквивалентно теории без гравитации, определённой на его $d$-мерной границе. Таким образом, число степеней свободы в гравитационной системе определяется не объёмом, а площадью границы. Идея голографии возникла из анализа энтропии чёрных дыр, впервые предложенного Бекенштейном и уточнённого в рамках термодинамики чёрных дыр Хокингом.
Принцип голографии можно интерпретировать как утверждение о том, что фундаментальная теория, включающая гравитацию, «переносима» на пространство меньшей размерности, где гравитация не играет динамической роли. Это глубокое утверждение затрагивает как саму структуру пространства-времени, так и природу информации в квантовой гравитации.
Энтропия $S$ черной дыры Бекенштейна–Хокинга выражается как:
$$ S = \frac{A}{4 G_N \hbar} $$
где $A$ — площадь горизонта событий, $G_N$ — гравитационная постоянная Ньютона. Этот результат резко контрастирует с обычным термодинамическим поведением, где энтропия пропорциональна объёму системы. Этот факт побуждает предположение о голографической природе микроскопических степеней свободы в теории гравитации: информация кодируется на поверхности, а не внутри объёма.
Наиболее точная реализация голографического принципа представлена в форме дуальности анти-де-Ситтера/конформной теории поля (AdS/CFT), предложенной Хуаном Малдасенной в 1997 году. Эта дуальность утверждает эквивалентность между:
Канонический пример: $AdS_5/CFT_4$ дуальность, согласно которой теория типа IIB суперструн на $AdS_5 S^5$ эквивалентна $=4$ суперсимметричной конформной теории Янга–Миллса с группой $SU(N)$ на 4-мерной границе.
Голографическая дуальность предполагает однозначное соответствие между:
Граничное значение поля $(x,z)$ при $z $ (где $z$ — радиальная координата в AdS) выступает как источник $J(x)$ для соответствующего оператора $(x)$:
ZAdS[ϕ → J] = ⟨exp (∫ddx J(x)????(x))⟩CFT
Это соотношение служит центральной осью голографического рецепта.
Пространство анти-де-Ситтера является решением уравнений Эйнштейна с отрицательной космологической постоянной $< 0$. Метрика в глобальных координатах имеет вид:
$$ ds^2 = \frac{R^2}{z^2} (dz^2 + \eta_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu) $$
где $z (0, )$ — радиальная координата, $_{}$ — метрика Минковского, $R$ — радиус кривизны AdS. Граница пространства находится при $z $.
Обратим внимание, что из-за конформической симметрии границы, геометрия AdS сохраняет структуру масштабных преобразований, что согласуется с конформной симметрией граничной теории.
Рассмотрим свободное скалярное поле массы $m$ в $AdS_{d+1}$. Его действие:
$$ S = \frac{1}{2} \int d^{d+1}x \sqrt{g} \left( g^{MN} \partial_M \phi \partial_N \phi + m^2 \phi^2 \right) $$
Решения уравнения движения $_{AdS} - m^2 = 0$ при малых $z$ ведут себя как:
$$ \phi(z,x) \sim z^{\Delta_-} \phi_0(x) + z^{\Delta_+} A(x), \quad \Delta_\pm = \frac{d}{2} \pm \sqrt{\frac{d^2}{4} + m^2 R^2} $$
Граничное значение $_0(x)$ трактуется как источник для оператора $(x)$ в CFT с размерностью $_+$.
В рамках голографии можно восстановить динамику объёмной теории, решая уравнения движения с граничными условиями, заданными CFT. Это демонстрирует, что вся динамика в AdS определяется данными на границе. Следовательно, «внутреннее» пространство и его геометрия оказываются закодированными в данных поля на границе.
В частности, уравнения Эйнштейна с источниками можно рассматривать как определяющие корреляторы энергии-импульса в CFT, а флуктуации гравитона — как возмущения соответствующего тензорного оператора.
Голографическая дуальность указывает, что гравитация может возникать как эффективное или коллективное явление в системах с большим числом степеней свободы. В граничной CFT гравитация отсутствует, но соответствие с гравитацией в объёме предполагает, что метрические флуктуации AdS проявляются как связные состояния или коллективные возбуждения граничной теории.
Это даёт повод рассматривать само пространство-время как возникающее (emergent), в духе идеи Вилачека, Падманабхана и др., что в корне меняет наше представление о геометрии.
В контексте теории чёрных дыр голографический принцип позволяет по-новому взглянуть на информационный парадокс. Если вся информация о материи, падающей в чёрную дыру, сохраняется на горизонте и может быть прочитана извне в рамках CFT, то исчезновение информации при испарении чёрной дыры противоречит унитарности только на уровне эффективного описания.
Голографическая дуальность тем самым предлагает путь к восстановлению унитарности полной квантовой гравитации.
Хотя дуальность AdS/CFT является самой хорошо изученной, активные исследования ведутся в направлении голографии вне AdS, в том числе:
Эти направления сталкиваются с рядом концептуальных трудностей, включая отсутствие строгих граничных условий и проблемы унитарности, однако являются крайне перспективными для космологических приложений.
Современные исследования подчеркивают глубокую связь между голографией и квантовой информацией. Появляются формализации, связывающие:
Это позволяет рассматривать геометрию как дериват запутанности, а структуру пространства — как отражение квантовой взаимосвязи степеней свободы граничной теории.