В суперсимметричных квантовых теориях полевая динамика описывается гамильтонианом H, который выражается через суперсимметричные заряды Q и Q† как
H = {Q, Q†}.
Оператор Q удовлетворяет алгебре Q2 = (Q†)2 = 0, а также {Q, Q†} = 2H, что аналогично супералгебре SUSY на одной временной размерности. Это влечёт за собой, что все собственные состояния с E > 0 образуют пары: для каждого состояния |ψ⟩ с Q|ψ⟩ ≠ 0 существует сопряжённое состояние Q|ψ⟩, имеющее ту же энергию. Однако нулевые энергии (нулевые моды) могут быть неподвижными под действием Q, и такие состояния не обязаны иметь партнёра.
Индекс Виттена определяется как суперслед по пространству состояний:
Δ = Tr [(−1)Fe−βH],
где F — фермионное число (или градуировка: 0 для бозонов, 1 для фермионов). Параметр β может быть произвольным положительным числом, поскольку в силу суперсимметрии индекс не зависит от β, что делает его топологическим инвариантом.
Физически это означает, что все возбуждённые состояния (с E > 0) не дают вклада в индекс: они приходят в парах с противоположным (−1)F, и их вклады сокращаются. Только нулевые моды (с H = 0) дают ненулевой вклад. Таким образом,
Δ = nB(0) − nF(0),
где nB(0) и nF(0) — число бозонных и фермионных нулевых состояний соответственно.
Индекс Виттена — это дискретная величина, инвариантная при непрерывных деформациях лагранжиана теории, при которых сохраняется суперсимметрия. Он может измениться только при исчезновении или появлении нулевых состояний, что возможно лишь при нарушении условий SUSY. Это свойство делает индекс особенно ценным при изучении фазовых переходов, топологических инвариантов и определении наличия или отсутствия спонтанного нарушения суперсимметрии.
Если Δ ≠ 0, это означает, что в теории существуют нерелятивистские вакуумные состояния с нулевой энергией, и суперсимметрия не нарушена спонтанно. Если же Δ = 0, это может указывать на спонтанное нарушение SUSY, но не гарантирует его — могут существовать равные количества бозонных и фермионных нулевых состояний.
Рассмотрим простейший пример — одномерный суперсимметричный осциллятор. Его гамильтониан имеет вид:
$$ H = \frac{1}{2} p^2 + \frac{1}{2} W'(x)^2 + \frac{1}{2} W''(x) [\psi^\dagger, \psi], $$
где W(x) — суперпотенциал, а ψ, ψ† — фермионные операторы. Решения уравнений Богомол’nyi (BPS) соответствуют состояниям с H = 0, и их число определяется топологическими свойствами W(x).
Выражение для индекса в этом случае становится:
Δ = sgn(W′(+∞)) − sgn(W′(−∞)),
что отражает разность числа устойчивых решений уравнений первого порядка (BPS состояний).
Индекс Виттена тесно связан с индексом оператора Дирака и теоремой Атии — Зингера. В конкретной суперсимметричной теории на многообразии индекс Виттена вычисляется как:
Δ = Index(D) = dim ker D − dim ker D†,
где D — суперзаряд Q, играющий роль оператора Дирака. Геометрически это приводит к связи с характеристическими классами, например родом Â или родом Хирацэ — Тодды в зависимости от контекста (например, в ???? = 2 теории).
В 4-мерной теории Янга — Миллса с расширенной суперсимметрией индекс Виттена позволяет анализировать пространственно-временные фоны с нетривиальной топологией. Например, при изучении инстантонов в ???? = 2 или ???? = 4 теориях, индекс Виттена даёт информацию о числе фермионных нулевых мод на фоне инстантона, что критично при вычислении амплитуд в полуклассическом приближении.
В частности, в теории с инстантонным числом k и калибровочной группой SU(N) общее число фермионных нулевых мод задаётся как:
nF = 2kN,
что напрямую связано с индексом Дирака и, следовательно, индексом Виттена.
Формально индекс Виттена можно интерпретировать как суперсимметричный аналог статистической суммы при температуре T = 1/β, с добавлением оператора (−1)F. Это приводит к тому, что возбуждённые состояния вычитаются, в отличие от обычной статистики Больцмана. Такая конструкция имеет глубокие приложения в суперструнных теориях и теориях с компактными измерениями, где индекс отслеживает нетривиальные топологические свойства модулей или вакуумов.
В теориях с расширенной суперсимметрией, таких как 2D ???? = (2, 2) сигма-модели, индекс Виттена может быть обобщён до эллиптического индекса или индекса Рамонда — Невё — Шварца, который зависит от дополнительных параметров (например, углов скручивания по тору). Эти обобщения используются при вычислении спектров BPS-состояний и в контексте зеркальной симметрии.
Одной из ключевых физических интерпретаций индекса Виттена является его способность диагностировать наличие спонтанного нарушения суперсимметрии. Поскольку ненулевая энергия основного состояния является признаком такого нарушения, а индекс чувствителен только к состояниям с E = 0, то при Δ ≠ 0 суперсимметрия гарантированно не нарушена. Однако Δ = 0 не является достаточным условием для спонтанного нарушения, и требует более тонкого анализа спектра теории.
Примером является ???? = 1 супер-Yang–Mills теория, в которой индекс Виттена совпадает с числом вакуумов, обусловленных аномалией U(1) симметрии:
Δ = N,
где N — ранг калибровочной группы SU(N). Это указывает на существование N различных BPS-вакуумов, между которыми может происходить туннелирование.
В теориях с несколькими суперзарядами или дополнительными симметриями можно ввести более тонкие индексы, чувствительные к глобальным квантовым числам. Например, обобщённый индекс имеет вид:
Δ(z) = Tr [(−1)FzJe−βH],
где J — заряд по какому-либо симметричному оператору. Это позволяет извлечь информацию о распределении BPS-состояний по спинам, ароматическим числам и т.п.
В случае 4D ???? = 1 теории с компактным пространством типа S3 × ℝ, индекс Суперконформной теории принимает форму Эллиптического индекса, важного в вычислениях суперконформных аномалий и в программе a-теоремы.
При применении твистинга (как в конструкциях Вафы — Виттена) суперсимметричная теория может быть сведена к топологической теории, в которой индекс Виттена становится равным инварианту пространства модулей решений уравнений поля (например, уравнений Сиберга — Виттена, Янга — Миллса и др.). Такие индексы непосредственно связаны с характеристическими классами (род Хирацэ — Тодды, род Â, характер Черна) и отражают глубокую геометрию основного многообразия, на котором задана теория.
Таким образом, индекс Виттена служит центральным связующим звеном между квантовой теорией поля, дифференциальной геометрией, алгебраической топологией и математической физикой.