Инфляция представляет собой фазу ускоренного экспоненциального расширения Вселенной, происходившую на ранних этапах её эволюции. В рамках квантовой теории поля инфляция описывается при помощи скалярного поля — инфлатона, находящегося в метастабильном или медленно скатывающемся состоянии. Основным динамическим уравнением служит уравнение движения скалярного поля в фридмановском фоне:
$$ \ddot{\phi} + 3H\dot{\phi} + V'(\phi) = 0, $$
где ϕ(t) — инфлатон, V(ϕ) — потенциал, H = ȧ/a — параметр Хаббла, определяемый через уравнение Фридмана:
$$ H^2 = \frac{1}{3M_{\text{Pl}}^2} \left( \frac{1}{2} \dot{\phi}^2 + V(\phi) \right). $$
Условия инфляции реализуются, когда кинетическая энергия мала по сравнению с потенциальной: ϕ̇2 ≪ V(ϕ), что приводит к замедленному «скатыванию» поля и к уравнению состояния p ≈ −ρ, вызывающему ускоренное расширение.
Для анализа инфляционной динамики вводятся параметры медленного скатывания:
$$ \epsilon = \frac{M_{\text{Pl}}^2}{2} \left( \frac{V'}{V} \right)^2, \quad \eta = M_{\text{Pl}}^2 \frac{V''}{V}, $$
где условия ϵ, |η| ≪ 1 гарантируют длительную инфляцию и квазидэ-ситтерово поведение метрики.
На фоне квазидэ-ситтеровского расширения квантовые флуктуации скалярного поля δϕ(x, t) подвергаются существенному растяжению, и их длины волн выходят за горизонт Хаббла (k ≪ aH). Поле ϕ следует разложить как:
ϕ(x, t) = ϕ0(t) + δϕ(x, t),
где δϕ описывает квазиклассические возмущения, перешедшие из вакуумных квантовых флуктуаций. Их динамика описывается линейным уравнением для мод Фурье:
$$ \delta\ddot{\phi}_k + 3H \delta\dot{\phi}_k + \left( \frac{k^2}{a^2} + V''(\phi_0) \right)\delta\phi_k = 0. $$
На сверхгоризонтальных масштабах k ≪ aH, решение стабилизируется, и флуктуации «замерзают».
Квантование проводится на фоне расширяющегося пространства в метрике Фридмана. Временная метрика выражается через конформное время η, и поле перезаписывается в канонически нормированной форме:
$$ v_k = a \delta\phi_k, \quad v_k'' + \left( k^2 - \frac{a''}{a} \right)v_k = 0, $$
где штрих — производная по η, а a″/a ∼ 2/η2 в квазидэ-ситтеровском фоне. Решением этого уравнения является:
$$ v_k(\eta) = \frac{1}{\sqrt{2k}} \left( 1 - \frac{i}{k\eta} \right) e^{-ik\eta}, $$
что соответствует вакууму Бунчи-Дэвиса в прошлом.
Наблюдаемая структура Вселенной формируется из флуктуаций скалярного поля, переходящих в кривизну на сверхгоризонтальных масштабах. Спектр флуктуаций кривизны ℛ, связанный с δϕ как:
$$ \mathcal{R} = \frac{H}{\dot{\phi}} \delta\phi, $$
имеет спектральную плотность:
$$ \mathcal{P}_{\mathcal{R}}(k) = \left( \frac{H^2}{2\pi \dot{\phi}} \right)^2_{k=aH}. $$
При медленном скатывании спектр близок к плоскому, но наклон спектра определяется параметрами:
$$ n_s - 1 = \frac{d\ln \mathcal{P}_{\mathcal{R}}}{d\ln k} \approx -6\epsilon + 2\eta. $$
Наблюдения (например, данные Planck) показывают ns ≈ 0.965, что подтверждает инфляционные предсказания и медленное скатывание.
Квантовые флуктуации тензора метрики hij, описывающие гравитационные волны, также подвергаются растяжению во время инфляции. Они удовлетворяют уравнению:
$$ \mu_k'' + \left( k^2 - \frac{a''}{a} \right) \mu_k = 0, \quad \mu_k = a h_k, $$
аналогичному скалярному случаю. Спектр тензорных флуктуаций:
$$ \mathcal{P}_T(k) = \frac{2}{\pi^2} \frac{H^2}{M_{\text{Pl}}^2}, $$
а отношение тензорных и скалярных спектров определяется как:
$$ r = \frac{\mathcal{P}_T}{\mathcal{P}_{\mathcal{R}}} = 16 \epsilon. $$
Современные ограничения на r составляют r < 0.036 (BICEP/Keck 2024), что исключает некоторые модели инфляции, в частности с потенциалом V(ϕ) ∼ ϕ2.
Формализм квазиклассического замерзания флуктуаций тесно связан с разрывом конформной инвариантности. Массовоеless поле в дэ-ситтеровском пространстве сохраняло бы спектральную плоскость, но инфляционные возмущения обусловлены динамикой фонового поля и нарушением этой симметрии. Это приводит к разным характеристикам спектров — наклону, амплитуде и статистике.
На стадии выхода за горизонт квантовые флуктуации теряют возможность осциллировать, их амплитуда фиксируется, и они ведут себя как классические стохастические переменные. Это явление — квантово-классический переход — обеспечивает зачатки всех наблюдаемых неоднородностей в космосе.
Инфляционные возмущения в первой аппроксимации гауссовы. Однако возможны отклонения от гауссовости, характеризуемые параметром fNL, определяющим амплитуду би-спектра:
$$ \mathcal{R}(x) = \mathcal{R}_g(x) + \frac{3}{5} f_{\text{NL}} \left( \mathcal{R}_g^2(x) - \langle \mathcal{R}_g^2 \rangle \right). $$
В простейших моделях с одним скалярным полем и канонической кинетикой fNL ∼ ????(ϵ), однако в мультиполевых или нестандартных моделях он может быть существенно больше. Наблюдения ограничивают fNLlocal ≈ 0 ± 5, что накладывает сильные ограничения на альтернативные сценарии.
После завершения инфляции и последующего reheating (переноса энергии инфлатона в частицы Стандартной модели), первичные возмущения продолжают эволюционировать в линейной теории. При рекомбинации (T ~ 0.3 эВ) они отпечатываются в анизотропии температуры и поляризации космического микроволнового фона (КМФ), позволяя реконструировать их спектр. Эта информация — мощнейший инструмент для проверки инфляционных моделей.
Особое значение имеет угловой спектр анизотропий температуры Cℓ, структура которого (акустические пики, амплитуда, наклон) напрямую отражает характеристики инфляционных флуктуаций. Детекторы, как Planck, WMAP и будущие CMB-S4, продолжают уточнять параметры инфляционной эпохи.
Различные формы потенциала V(ϕ) приводят к разным инфляционным сценариям. Классификация:
Современные данные наиболее благоприятны к потенциалам с плато, где r мало, а ns ≈ 0.965, как в модели Starobinsky:
$$ V(\phi) = V_0 \left(1 - e^{-\sqrt{2/3} \phi/M_{\text{Pl}}} \right)^2. $$
Инфляционная стадия — естественный артефакт КТП в изогнутом пространстве. Возмущения поля и метрики описываются в рамках линейной теории на фоне, но требуют аккуратного квантования в изогнутом пространстве. Методы, используемые в теории возмущений, опираются на действие второго порядка в ADM-переменных, которое, после интегрирования констрейнтов, приводит к действию Мукаханова–Сассаки:
$$ S^{(2)} = \frac{1}{2} \int d\eta\, d^3x \left[ v'^2 - (\nabla v)^2 + \frac{z''}{z} v^2 \right], \quad z = a\frac{\dot{\phi}}{H}. $$
Каноническое поле v затем квантуется как свободное поле, подчиняющееся вакууму Бунчи-Дэвиса в начале инфляции.
Инфляционная космология — уникальный пример использования КТП в нестационарной, динамически развивающейся геометрии. Она предоставляет физический механизм, связывающий квантовые флуктуации и наблюдаемую крупномасштабную структуру Вселенной.