Интегралы по траекториям и функциональное интегрирование являются важнейшими математическими инструментами, используемыми в квантовой теории поля (КТП). Эти методы позволяют формализовать динамику поля в терминах интегралов по траекториям, что является аналогом классической механики, где траектории частицы интегрируются через все возможные пути. В квантовой механике этот подход превращается в мощный инструмент для вычислений амплитуд вероятности и корреляционных функций.
В классической механике путь, по которому движется система, определяет её поведение. Однако в квантовой механике ситуация кардинально изменяется. Вместо того чтобы рассматривать только одну траекторию, квантовая механика вводит принцип суперпозиции, что означает необходимость учёта всех возможных траекторий.
Для того чтобы выразить динамику в терминах интегралов по траекториям, необходимо перейти от описания конкретной траектории частицы или поля к описанию всей возможной динамики системы, что приводит к функциональному интегрированию.
Интеграл по траекториям в квантовой механике определяется как сумма по всем возможным путям, которые может пройти частица или поле, с весами, задаваемыми экспонентой действия (или лагранжиана). Это дает нам так называемый Фейнмановский интеграл по траекториям:
K(b, a) = ∫????[x(t)] eiS[x(t)]/ℏ
где K(b, a) — амплитуда перехода частицы от точки a к точке b, S[x(t)] — действие, связанное с траекторией x(t), а ????[x(t)] — функциональный интеграл по всем траекториям.
Для квантовой теории поля данный подход обобщается на поля. В классической теории поля поведение поля можно описать через лагранжиан, который включает кинетическую и потенциальную энергию поля. В квантовой теории поля переход к функциональному интегрированию позволяет учесть все возможные конфигурации поля.
Функциональный интеграл по полям записывается как:
Z = ∫????[ϕ] eiS[ϕ]/ℏ
где Z — это функционал, который в случае квантовой теории поля соответствует амплитуде вероятности всех возможных конфигураций поля ϕ(x), и S[ϕ] — действие, которое зависит от поля.
Действие S[ϕ] является функционалом поля и обычно выражается через интеграл по четырёхмерному пространственно-временному объёму:
S[ϕ] = ∫d4x ℒ(ϕ, ∂μϕ)
где ℒ — лагранжиан поля ϕ, который может включать различные виды взаимодействий, например, кинетическую энергию поля и взаимодействие с другими полями.
В классе полевых теорий действие может быть записано как:
$$ S[\phi] = \int d^4x \, \left( \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - V(\phi) \right) $$
где V(ϕ) — потенциал поля, который может зависеть от конкретной теории (например, в теории Янга-Миллса или в теории Хиггса).
Функциональные интегралы позволяют находить различные физические величины, такие как амплитуды перехода, корреляционные функции и пропагаторы. Например, для нахождения пропагатора поля, который характеризует распространение возмущений через пространство-время, необходимо выполнить функциональный интеграл в присутствии источников J(x):
$$ G(x, x') = \frac{\int \mathcal{D}[\phi] \, \phi(x) \phi(x') e^{iS[\phi]/\hbar}}{\int \mathcal{D}[\phi] \, e^{iS[\phi]/\hbar}} $$
Таким образом, пропагатор можно получить как среднее значение поля на различных точках пространства-времени.
Один из важнейших аспектов квантовой теории поля — это учёт квантовых флуктуаций. Путём интегрирования по всем возможным конфигурациям поля мы включаем флуктуации на всех масштабах. Эти флуктуации имеют важное значение при вычислении амплитуд переходов и при описании процесса взаимодействия частиц в поле.
Для изучения флуктуаций используют метод разложения действия вокруг некоторого решения (например, вакуумного состояния или классической конфигурации). Это даёт возможность анализировать поведение квантовых полей через их малые колебания.
Рассмотрим простую теорию скалярного поля с лагранжианом:
$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 $$
Где ϕ — скалярное поле, а m — его масса. Для нахождения пропагатора в такой теории можно использовать функциональный интеграл:
$$ G(x, x') = \frac{\int \mathcal{D}[\phi] \, \phi(x) \phi(x') e^{i \int d^4x \left( \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 \right)/\hbar}}{\int \mathcal{D}[\phi] \, e^{i \int d^4x \left( \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 \right)/\hbar}} $$
Это интеграл по всем возможным конфигурациям поля ϕ(x), который в случае поля в вакуумном состоянии позволяет вычислить корреляционные функции и пропагаторы.
Одним из важнейших аспектов квантовой теории поля является проблема инфляционных величин, которые могут возникать в процессе функционального интегрирования. Эти бесконечности требуют применения процедуры ренормализации, которая позволяет сделать результаты теории конечными и согласующимися с экспериментальными данными.
Процесс ренормализации включает в себя изменение параметров теории (массы, взаимодействия и т.д.) таким образом, чтобы убрать бесконечности из физических предсказаний. Это может быть выполнено через перенормировку функциональных интегралов, где определённые параметры (например, масса) заменяются на эффективные параметры, зависящие от масштаба.
Интегралы по траекториям и функциональное интегрирование являются важнейшими методами в квантовой теории поля, позволяя обобщить классические представления о траекториях и полях на квантовые системы. Эти методы находят широкое применение в вычислениях амплитуд переходов, пропагаторов и корреляционных функций. Функциональные интегралы также служат основой для ренормализации и других аспектов теории.