Термодинамика черных дыр — это область, объединяющая гравитацию, квантовую теорию поля и законы термодинамики. Основные идеи были сформулированы на основе аналогий между законами механики черных дыр и законами термодинамики, а окончательное признание концепции произошло после открытия Хокинга о квантовом излучении черных дыр.
Черные дыры, несмотря на свое название, обладают температурой и энтропией. Они излучают, теряют массу и могут испаряться полностью. Этот парадоксальный результат возникает из анализа квантовых флуктуаций поля на фоне гравитационного коллапса. Основу рассмотрения составляет квантовая теория поля в искривлённом пространстве-времени.
Формально, еще до открытия Хокинга, Бекенштейн и другие исследователи выделили аналогии между уравнениями Эйнштейна и законами термодинамики. Были сформулированы следующие законы механики черных дыр:
Первый закон механики черных дыр:
$$ dM = \frac{\kappa}{8\pi G} dA + \Omega dJ + \Phi dQ $$
где M — масса черной дыры, A — площадь горизонта событий, κ — поверхностная гравитация, J — угловой момент, Q — заряд, Ω и Φ — соответствующие потенциалы.
Второй закон механики черных дыр: площадь горизонта событий не уменьшается во всех классических процессах (δA ≥ 0), аналогично возрастанию энтропии.
Эти результаты натолкнули Бекенштейна на гипотезу, что площадь горизонта событий пропорциональна энтропии черной дыры:
$$ S_{\text{BH}} = \eta \cdot \frac{A}{l_P^2} $$
где $l_P = \sqrt{\hbar G / c^3}$ — планковская длина, а η — численный коэффициент порядка единицы. Однако температура оставалась неясной до работ Хокинга.
Хокинг показал, что черные дыры не абсолютно черные: они испускают тепловое излучение с определённой температурой. Это излучение — следствие квантовых эффектов на фоне горизонта событий. В частности, виртуальные частицы вблизи горизонта могут быть разделены гравитацией, одна из которых уходит на бесконечность, а другая — падает в черную дыру.
Температура Хокинга для невращающейся незаряженной (Шварцшильдской) черной дыры:
$$ T_{\text{H}} = \frac{\hbar c^3}{8\pi G M k_B} $$
Это выражение связывает массу черной дыры с её температурой: чем меньше масса, тем выше температура. Тем самым была найдена физическая интерпретация поверхностной гравитации:
$$ \kappa = \frac{2\pi k_B T_{\text{H}}}{\hbar} $$
Подставляя температуру Хокинга в первый закон механики черных дыр и сравнивая его с первым законом термодинамики, получаем:
$$ S_{\text{BH}} = \frac{k_B c^3 A}{4 G \hbar} $$
Энтропия черной дыры пропорциональна площади, а не объёму, что является фундаментальным отклонением от стандартной термодинамики. Это открытие стало ключом к идеям голографического принципа и энтропийных границ.
Излучение Хокинга можно также получить из формализма евклидовой квантовой теории поля. Переход к евклидову времени t → −iτ приводит метрику Шварцшильда к евклидовой форме:
$$ ds^2 = \left(1 - \frac{2GM}{r}\right) d\tau^2 + \left(1 - \frac{2GM}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2 $$
Требование регулярности геометрии на горизонте требует периодичности евклидова времени:
$$ \tau \sim \tau + \beta, \quad \beta = \frac{1}{T_{\text{H}}} $$
Тем самым возникает связь между температурой черной дыры и периодом по времени в евклидовом пространстве. Это напрямую связывает гравитацию с термодинамикой на уровне траекторий интегрирования по конфигурациям поля.
Излучение Хокинга имеет тепловой спектр:
$$ \frac{dN}{dt\,d\omega} \propto \frac{\Gamma(\omega)}{e^{\omega/T_{\text{H}}} \mp 1} $$
где Γ(ω) — коэффициент прохождения потенциального барьера, зависящий от спина частицы и геометрии, а знак минус или плюс соответствует бозонам или фермионам. Хотя спектр приближается к тепловому, он не идеален — присутствует угасание на высоких энергиях, связанное с геометрией.
Полная мощность излучения обратно пропорциональна квадрату массы:
$$ P \propto \frac{1}{M^2} $$
Следовательно, легкие черные дыры испаряются быстрее, что ведет к финальному взрыву при достижении планковской массы.
Черная дыра, испуская излучение Хокинга, теряет массу:
$$ \frac{dM}{dt} = -\frac{\alpha}{M^2} $$
Интегрируя, получаем оценку времени испарения:
$$ \tau \sim \frac{M_0^3}{\alpha} $$
где α — эффективная постоянная, зависящая от числа и типа полей, M0 — начальная масса. Для солнечной массы τ оказывается существенно больше возраста Вселенной. Но для примордиальных черных дыр массой порядка 1015 г время жизни близко к текущему возрасту Вселенной.
Черные дыры обладают отрицательной теплоёмкостью:
$$ C = \frac{dM}{dT} < 0 $$
Это означает, что черная дыра становится горячее по мере потери массы. С точки зрения термодинамики, такая система неустойчива: при малом возмущении она не возвращается в равновесие. Это усложняет построение статистической механики черных дыр в привычной форме.
Однако в асимптотически анти-де-Ситтеровском пространстве (AdS) при определённых условиях может существовать стабильное равновесие между черной дырой и тепловым фоном — эффект Хокинга-Пейджа.
Ключевой парадокс, возникший после открытия излучения Хокинга — это информационный парадокс. Если излучение Хокинга строго термально, оно не несёт информацию о начальном состоянии. Полное испарение черной дыры может привести к необратимой потере квантовой информации, нарушая унитарность эволюции.
Возможные подходы к разрешению парадокса:
До настоящего времени вопрос остается открытым и активно исследуется в рамках теории струн, AdS/CFT-соответствия, квантовой гравитации и квантовой информации.
Формализм интеграла по конфигурациям в квантовой гравитации позволяет рассматривать вклады различных евклидовых геометрий в статистическую сумму. Например, вклад чёрной дыры Шварцшильда в евклидовой метрике можно оценить как:
Z ∼ e−IE
где IE — евклидово действие, зависящее от температуры. Из этого можно извлечь свободную энергию, энтропию и другие термодинамические параметры. При низких температурах преобладает плоское пространство, при высоких — евклидова черная дыра, что соответствует фазовому переходу Хокинга–Пейджа.
Открытие формулы Бекенштейна-Хокинга стало первым проявлением голографического принципа: количество микроскопических степеней свободы в гравитационной системе пропорционально площади, а не объему. Это находит строгую реализацию в AdS/CFT-соответствии, где черная дыра в AdS пространстве соответствует тепловому состоянию в граничной конформной теории.
В рамках этого соответствия, энтропия черной дыры интерпретируется как энтропия состояния в граничной квантовой теории, а испарение — как унитарная эволюция.
В теории струн и других подходах к квантовой гравитации предприняты попытки объяснить энтропию черной дыры как счёт числа микросостояний. Знаменитым примером является работа Строминджера и Вафа, где они для экстремальных черных дыр в пятимерной суперсимметричной теории струн вычислили число микросостояний и получили точно:
$$ S = \ln \Omega = \frac{A}{4 G \hbar} $$
Этот результат стал важным подтверждением идеи, что энтропия черной дыры действительно соответствует количеству микроскопических конфигураций, согласованных с макроскопическими параметрами.