Канонические коммутационные соотношения играют важнейшую роль в квантовой теории поля. Они лежат в основе структуры теории и описания динамики поля в рамках квантовых систем. Эти соотношения связывают операторы, соответствующие полям и их каноническим сопряжённым величинам — импульсам, или производным поля по времени. Важно, что коммутационные соотношения позволяют перейти от классических теорий поля к квантовым, где поля больше не рассматриваются как детерминированные величины, а представляют собой операторы в гильбертовом пространстве.
В классической теории поля поля и их производные по времени описываются как функции, определённые в каждой точке пространства-времени. Однако, при переходе к квантовой теории, эти функции становятся операторами. Для описания динамики этих операторов используются канонические коммутационные соотношения, аналогичные тем, которые встречаются в квантовой механике для координат и импульсов.
Предположим, что для поля ϕ(x) и его канонического сопряжённого импульса π(x) действуют следующие коммутационные соотношения:
[ϕ(x⃗, t), π(y⃗, t)] = iℏδ(3)(x⃗ − y⃗),
где δ(3)(x⃗ − y⃗) — трёхмерная дельта-функция, отражающая, что операторы коммутируют лишь на одинаковых точках в пространстве.
Это соотношение приводит к важным последствиям в квантовой теории поля, а именно к утверждению, что поле и его импульс не могут быть одновременно точно определены. Это аналогично принципу неопределённости Гейзенберга в квантовой механике.
Для скалярного поля ϕ(x), которое является функцией пространства-времени x = (t, x⃗), каноническое коммутационное соотношение можно записать как:
[ϕ(x⃗, t), π(y⃗, t)] = iℏδ(3)(x⃗ − y⃗),
где поле ϕ(x) и сопряжённый импульс π(x) определяются как:
$$ \pi(\vec{x}, t) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}(\vec{x}, t)} = \dot{\phi}(\vec{x}, t), $$
где ℒ — лагранжиан системы, а ϕ̇(x⃗, t) — производная поля по времени.
Здесь δ(3)(x⃗ − y⃗) играет ключевую роль, так как оно обеспечивает локальность взаимодействий: операторы, соответствующие разным точкам пространства, не могут коммутировать. Это также отражает важную особенность квантовых полей: их нелокальные взаимодействия и статистическую природу.
Квантование поля происходит путём замены классических величин на операторы. Например, в случае скалярного поля ϕ(x), его каноническое квантование заключается в том, что оно становится оператором, который действует на гильбертовом пространстве состояний. Это приводит к ряду изменений в математическом описании физических процессов, таких как появление квантовых флуктуаций и изменение структуры решения уравнений поля.
Для практических вычислений используется представление в виде разложения поля на нормальные моды, что позволяет анализировать квантовые состояния, такие как вакуумные состояния, возбужденные состояния и т. д. Каждая моды поля имеет свой квант, что соответствует элементарным частицам в теории.
В теории квантовых полей существуют различные типы полей, и для каждого из них можно записать канонические коммутационные соотношения. Например, для векторного поля Aμ(x) можно ввести канонические соотношения:
[Aμ(x⃗, t), πν(y⃗, t)] = iℏημνδ(3)(x⃗ − y⃗),
где ημν — метрика пространства-времени. Векторные поля имеют более сложную структуру взаимодействий, но канонические соотношения сохраняют тот же общий принцип.
Для фермионных полей, таких как поля Дирака, канонические соотношения принимают более сложную форму, учитывая антикоммутационные свойства фермионов. Например, для поля Дирака ψ(x) и его сопряжённого импульса π(x) каноническое соотношение будет выглядеть как:
{ψa(x⃗, t), πb(y⃗, t)} = iℏδabδ(3)(x⃗ − y⃗),
где {⋅, ⋅} обозначает антикоммутатор, а индексы a, b — внутренние индексы поля (например, спиновые компоненты).
Канонические коммутационные соотношения являются основой для построения квантовых теорий поля, где поля рассматриваются как операторы, действующие на квантовые состояния. Они влияют на такие важные аспекты, как сохранение энергии и импульса, взаимодействие полей и создание квантовых возбуждений. Эти соотношения также оказывают влияние на исследование антиподов и флуктуаций, которые являются неотъемлемой частью теории.
На практике, канонические соотношения позволяют вывести уравнения движения для операторов поля, которые являются аналогами классических уравнений для поля, но в квантовом контексте. Для скалярного поля это будут уравнения, такие как уравнение Даламбера, но с учётом квантовых флуктуаций и взаимодействий.
Канонические коммутационные соотношения — это фундаментальный инструмент в квантовой теории поля, который позволяет переходить от классических описаний поля к квантовым моделям. Они лежат в основе всех квантовых процессов, обеспечивая правильную статистику и структуру взаимодействий между частицами.