В квантовой теории поля описание взаимодействий часто сводится к анализу изменений состояния системы, происходящих вследствие воздействия внешних и внутренних полей. Центральным элементом в этом процессе является S-матрица, которая играет ключевую роль в формализме теории. В этой главе рассмотрим, как взаимодействие выражается через поле и как через S-матрицу можно вычислять вероятности различных процессов.
S-матрица (или матрица рассеяния) описывает эволюцию состояния квантовой системы в ходе взаимодействий. В отличие от стандартного подхода в квантовой механике, где используются операторы перехода между состояниями, в квантовой теории поля взаимодействия описываются через операторы, действующие на состояния полей.
S-матрица определяется через временную эволюцию системы, которая выражается через оператор U, связанный с гамильтонианом системы. Для замкнутой системы в контексте квантовой теории поля операторы перехода могут быть записаны через экспоненты вида:
$$ S = T \exp \left( - \frac{i}{\hbar} \int_{-\infty}^{\infty} H_{\text{int}}(t) dt \right) $$
где T — оператор, обеспечивающий правильный порядок времени, а Hint — гамильтониан взаимодействия.
В квантовой теории поля взаимодействие описывается через добавление взаимодействующих членов в гамильтониан. Например, в теории скалярных полей взаимодействие может быть записано в виде:
Hint = λϕ4
где ϕ — скалярное поле, а λ — константа взаимодействия. Величина λ характеризует силу взаимодействия. В общем случае взаимодействие может включать различные комбинации полей и их производных, что влечет за собой различные типы взаимодействий, как, например, взаимодействия с ядерными силами или электромагнитными полями.
Чтобы точно описать переход между состояниями с различными числами частиц, необходимо ввести операторы, которые добавляют или удаляют частицы из состояния поля. Для скалярных полей это будет оператор создания a†(k) и уничтожения a(k), действующие на состояние вакуума:
$$ \phi(x) = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_k}} \left( a(k) e^{ikx} + a^\dagger(k) e^{-ikx} \right) $$
Здесь Ek — энергия частицы с импульсом k. Эти операторы используются для описания того, как частицы взаимодействуют и как результат взаимодействия может быть выражен через изменение числа частиц в системе.
Процесс рассеяния является важным примером, иллюстрирующим использование S-матрицы. Для того чтобы вычислить вероятность того, что частица, вступившая во взаимодействие, окажется в определённом конечном состоянии, необходимо вычислить элемент рассеяния:
$$ \mathcal{M} = \langle f | T \exp \left( - \frac{i}{\hbar} \int_{-\infty}^{\infty} H_{\text{int}}(t) dt \right) | i \rangle $$
где |i⟩ и |f⟩ — начальное и конечное состояния системы. Вероятность рассеяния пропорциональна квадрату модуля этого амплитудного элемента:
P = |ℳ|2
С помощью такого подхода можно вычислять вероятность переходов между различными состояниями, что является основой многих экспериментов в физике высоких энергий.
Один из важнейших аспектов взаимодействий в квантовой теории поля — это необходимость ренормализации, которая позволяет избавиться от бесконечностей, возникающих при вычислениях амплитуд рассеяния на уровне S-матрицы. Для этого вводятся дополнительные параметры (ренормализованные массы, константы взаимодействия), которые подгоняются таким образом, чтобы экспериментальные результаты совпадали с теоретическими предсказаниями.
Ренормализация необходима для удаления всех бесконечных величин, которые возникают из-за взаимодействий на малых расстояниях (или эквивалентно на высоких энергиях). Эти бесконечности могут возникать, например, при расчёте диаграмм Фейнмана, которые служат графическим представлением для вычислений S-матрицы.
Одним из наиболее мощных инструментов для вычисления элементов рассеяния является метод диаграмм Фейнмана. Эти диаграммы представляют собой графическое отображение всех возможных путей взаимодействия между частицами. Каждому элементу диаграммы (вершины, линии) соответствует определённая математическая формула.
Для простого взаимодействия, такого как ϕ4-теория, диаграмма Фейнмана может включать различные топологии, включая диагональные и непрямые линии, что соответственно отражает обмен виртуальными частицами.
Использование S-матрицы позволяет в теории квантовых полей вычислять амплитуды перехода для различных экспериментов, таких как взаимодействие частиц в ускорителях, распад частиц, аннигиляция и другие процессы. Важно отметить, что сам факт существования S-матрицы не означает, что все процессы можно моделировать с её помощью; она даёт лишь приближённые предсказания, которые можно затем проверять с экспериментальными данными.
В квантовой электродинамике (КЭД) взаимодействие между электронами и фотонами может быть описано через S-матрицу, которая учитывает обмен виртуальными фотонами. Взаимодействие таких частиц в рамках КЭД сводится к добавлению взаимодействующих членов в гамильтониан, которые описывают эти процессы. Операторы поля и соответствующие диаграммы Фейнмана позволяют рассчитать вероятность того, что частицы будут рассеяны, а также какие реакции могут быть наблюдаемы в экспериментальных условиях.
Таким образом, S-матрица является важнейшим инструментом для описания и предсказания взаимодействий в квантовой теории поля. Этот подход позволяет не только точно вычислять вероятности переходов между состояниями, но и строить теоретические модели для описания физических процессов в высокоэнергетических областях.