Классические и квантовые симметрии

Лагранжева симметрия и токи Нётер

Пусть динамика системы описывается лагранжианом ℒ(ϕ, ∂_μϕ), где ϕ — набор полей. Если при преобразовании ϕ(x) → ϕ′(x) = ϕ(x) + δϕ(x) лагранжиан изменяется не более чем на полный производный член:

δℒ = ∂_μK^μ,

то действие инвариантно. Согласно теореме Нётер, существует сохраняющийся ток:

$$ j^\mu = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} \delta \phi - K^\mu, \qquad \partial_\mu j^\mu = 0. $$

Если преобразование глобальное, то существует сохраняющийся заряд:

Q = ∫d³x j⁰(x).

Это формирует основу классической симметрии: непрерывное преобразование поля, при котором физическая динамика не изменяется.

Примеры классических симметрий

1. Трансляции — инвариантность относительно сдвига координат x^μ → x^μ + a^μ. Связанный ток: тензор энергии-импульса T^μν.
2. Лоренцева инвариантность — сохранение тензора момента M^μνρ = x^μT^νρ − x^νT^μρ.
3. Глобальная U(1)-симметрия — например, для комплексного скалярного поля ϕ → e^iαϕ, связанный ток:

j^μ = i(ϕ^*∂^μϕ − ϕ∂^μϕ^*).

4. Внутренние симметрии — SU(N), SO(N), действующие на мультиплеты полей, как в кварковой теории.

Квантование и возможное нарушение симметрий

При переходе к квантовой теории поле становится оператором, и закон сохранения ∂_μj^μ = 0 реализуется как уравнение на операторном уровне. Однако, квантование может изменить симметрии:

• Аномалии: симметрия лагранжиана нарушается на квантовом уровне из-за особенностей меры функционального интеграла или регуляризации. Это фундаментальный эффект.

Аномалии и их природа

Аномалия возникает, когда классическая симметрия не может быть реализована в квантовой теории. Пусть теория инвариантна под некоторым преобразованием, при этом ток j^μ должен сохраняться. Однако, в квантовой теории вакуумное ожидание расходимости тока может быть ненулевым:

⟨∂_μj^μ⟩ ≠ 0.

Пример — антисимметричная дивергенция аксиального тока в квантовой электродинамике (анномалия Адельмана–Белла–Джекива):

$$ \partial_\mu j_5^\mu = \frac{e^2}{16\pi^2} \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu} F_{\rho\sigma}. $$

Аномалии имеют важное значение:

• Если аномалия затрагивает калибровочную симметрию, теория становится противоречивой (неконсервативная квантовая динамика).
• Если симметрия глобальная (например, аксиальная), то аномалия допустима, но ведёт к наблюдаемым эффектам, как в распаде π⁰ → γγ.

Спонтанное нарушение симметрии

Даже если лагранжиан инвариантен, вакуум может не сохранять симметрию. Это явление известно как спонтанное нарушение симметрии. Пусть ϕ → Uϕ, и ℒ инвариантен, но минимум потенциальной энергии достигается на ⟨ϕ⟩ ≠ 0, неинвариантном под U.

Пример: скалярное поле с потенциалом

V(ϕ) = μ²ϕ² + λϕ⁴,   μ² < 0.

Минимум достигается на |ϕ| = v ≠ 0, и выбирается конкретное направление в пространстве полей. Появляется массовое безмассовое возбуждение — бозон Голдстоуна.

По теореме Голдстоуна, спонтанное нарушение непрерывной глобальной симметрии порождает безмассовые скалярные поля — бозоны Голдстоуна. Их число соответствует числу разрушенных генераторов симметрии.

Квантовые симметрии и операторы

В квантовой теории симметрия выражается существованием оператора U(α), реализующего симметрию в пространстве состояний:

ϕ(x) → U^†(α) ϕ(x) U(α).

Для непрерывных симметрий U(α) = e^iαQ, где Q — сохраняющийся заряд (генератор симметрии).

Если Q коммутирует с гамильтонианом, симметрия сохраняется:

[H, Q] = 0 ⇒ симметрия времени сохраняется.

Если Q не сохраняется при эволюции, симметрия нарушается.

Симметрии также классифицируются по своему действию:

• Локальные (калибровочные) — действуют независимо в каждой точке пространства-времени.
• Глобальные — действуют одинаково повсюду.

Группы симметрий и их алгебры

Групповая структура симметрий играет фундаментальную роль в классификации частиц и взаимодействий. Связанные с симметрией генераторы удовлетворяют алгебре Ли:

[T^a, T^b] = if^abcT^c,

где f^abc — структура констант группы. К примеру:

• SU(2) — изоспиновая симметрия,
• SU(3) — кварковая цветовая симметрия.

Калибровочные теории строятся на основе инвариантности лагранжиана относительно локальной группы Ли. Соответствующие калибровочные поля связываются с генераторами симметрии, и возникают взаимодействия с заряженными полями.

Спонтанное нарушение локальной симметрии и механизм Хиггса

При спонтанном нарушении локальной (калибровочной) симметрии происходит поглощение бозона Голдстоуна соответствующим калибровочным полем, что приводит к его обретению массы. Этот механизм — основа Хиггсовского механизма:

• Исходно: калибровочная симметрия, безмассовые поля.
• После нарушения: поле Хиггса с ненулевым вакуумным средним, часть степеней свободы становится поперечными модами массивных векторов.

Дискретные симметрии: ????, ????, ????

Симметрии по чётности (паритет ????), обращению времени (????), и зарядовому сопряжению (????) — фундаментальны в квантовой теории поля:

• ????: x⃗ → −x⃗,
• ????: t → −t,
• ????: частицы ↔︎ античастицы.

Комбинированная симметрия ???????????? сохраняется во всех локальных, инвариантных по Лоренцу квантовых теориях поля (теорема CPT).

Однако отдельные симметрии могут быть нарушены. Например:

• Слабое взаимодействие нарушает ???? и ????,
• CP-нарушение наблюдается в распадах мезонов K, B,
• Нарушение ???? следует из CP-нарушения (при CPT-инвариантности).

Аномалии и консистентность калибровочной теории

Если аномалия присутствует в калибровочной симметрии, это ведёт к несогласованности:

• Пропадает сохранение тока,
• Невозможно определить калибровочную инвариантность на квантовом уровне,
• Физическая унитарность нарушается.

В Стандартной модели кварки и лептоны организованы так, чтобы все калибровочные аномалии (например, треугольные диаграммы) сокращались. Это сильно ограничивает допустимую структуру теории.

Пример: сумма зарядов всех фермионных поколений должна удовлетворять:

∑_fTr[{T^a, T^b}T^c] = 0.

Это ключевой критерий при построении расширений Стандартной модели.

Двойственность и обобщённые симметрии

Современная теория поля выходит за рамки точечных симметрий. Обобщённые симметрии действуют на объекты более высокой размерности (линии, поверхности). Появились концепции:

• 1-формных симметрий — действующих на векторные операторы (Wilson/’t Hooft loops),
• Двойственностей (например, электромагнитная двойственность).

Эти симметрии связывают разные режимы теории (сильная ↔︎ слабая связь) и дают новое понимание некоммутативных структур и топологических фаз.

---

Симметрии — краеугольный камень квантовой теории поля. Они определяют допустимую структуру взаимодействий, спектр элементарных частиц и фундаментальные законы сохранения. На квантовом уровне симметрии могут быть сохранены, спонтанно нарушены или аномально разрушены, каждая из ситуаций несёт далеко идущие последствия для физики.