В классической квантовой теории поля (КТП), определённой на фиксированном фоне, вакуум определяется как наинизшее энергетическое состояние, инвариантное относительно группы симметрий пространства-времени. Однако при рассмотрении полей в изогнутом пространстве-времени, в частности — в динамически расширяющейся Вселенной, понятие вакуума теряет универсальность. То, что воспринимается как вакуум в одной системе отсчёта, может содержать реальные частицы в другой. Это особенно важно для Фридмановской космологии, где метрика зависит от космологического времени.
Рассмотрим скалярное поле ϕ(x) с действием
$$ S = \int d^4x \sqrt{-g} \left[ -\frac{1}{2} g^{\mu\nu} \partial_\mu \phi \partial_\nu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 \right], $$
определённое на фоне метрики Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера (ФЛРВ) вида
ds2 = −dt2 + a2(t)dx⃗2,
где a(t) — масштабный фактор. Перейдём к конформному времени η, определяемому как dη = dt/a(t), и введём канонически нормированное поле χ(η, x⃗) = a(η)ϕ(η, x⃗). Тогда уравнение движения принимает вид
$$ \chi'' - \nabla^2 \chi + \left( m^2 a^2 - \frac{a''}{a} \right) \chi = 0, $$
где штрих означает производную по η. Это уравнение описывает поле в потенциальной яме, зависящей от времени, что ведёт к возможности рождения частиц.
Основной формализм для описания рождения частиц в расширяющейся Вселенной основан на представлении поля как суперпозиции мод:
$$ \chi(\eta, \vec{x}) = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^{3/2}} \left[ a_{\vec{k}} u_k(\eta) e^{i \vec{k} \cdot \vec{x}} + a_{\vec{k}}^\dagger u_k^*(\eta) e^{-i \vec{k} \cdot \vec{x}} \right], $$
где функции uk(η) удовлетворяют уравнению
$$ u_k'' + \omega_k^2(\eta) u_k = 0, \quad \omega_k^2(\eta) = k^2 + m^2 a^2(\eta) - \frac{a''}{a}. $$
Рассмотрим два различных асимптотических временных предела: раннее время η → −∞ и позднее время η → +∞, где поле приближённо ведёт себя как свободное. В этих пределах можно определить вакуумные состояния и соответствующие операторы уничтожения/создания: ak⃗in, ak⃗†in и ak⃗out, ak⃗†out. Они связаны через Боголюбовскую трансформацию:
ak⃗out = αkak⃗in + βk*a−k⃗†in.
Коэффициенты βk характеризуют степень возбуждения: число рождённых частиц с импульсом k⃗ во вселенной, находившейся изначально в состоянии вакуума, равно
nk = |βk|2.
Если βk ≠ 0, значит, геометрия пространства-времени индуцирует рождение частиц.
В адиабатическом приближении, когда масштабный фактор a(η) изменяется медленно по сравнению с частотами ωk(η), рождение частиц подавляется. Квантование в адиабатическом вакууме строится на модах
$$ u_k^{(ad)}(\eta) = \frac{1}{\sqrt{2 \omega_k(\eta)}} \exp\left( -i \int^\eta \omega_k(\tilde{\eta}) d\tilde{\eta} \right), $$
которые асимптотически минимизируют количество частиц. При нарушении адиабатичности (например, во время быстрых фазовых переходов или инфляции), формируется спектр рождённых частиц.
Прототипом космологического фона с активным производством частиц является пространство де Ситтера:
$$ a(\eta) = -\frac{1}{H \eta}, \quad \eta \in (-\infty, 0), $$
где H — постоянная Хаббла. Для безмассового скалярного поля уравнение мод становится
$$ u_k'' + \left( k^2 - \frac{2}{\eta^2} \right) u_k = 0, $$
с решением
$$ u_k(\eta) = \frac{1}{\sqrt{2k}} \left( 1 - \frac{i}{k\eta} \right) e^{-ik\eta}. $$
Так называемое вакуумное состояние Бунча-Дэвиса выбирается так, чтобы оно соответствовало минимальному возбуждению в далёком прошлом (η → −∞). В нём поле ведёт себя как в плоском пространстве, но в процессе расширения Вселенной происходит переопределение мод, ведущее к эффективному рождению частиц с ненулевым nk.
Во время инфляции, когда H ≈ const, пространство де Ситтера предоставляет естественный фон. Квантовые флуктуации поля инфлатона, возникающие как виртуальные возбуждения, «замораживаются» при выходе за горизонт и становятся классическими, формируя первичные возмущения плотности. Эти возмущения — прямое следствие космологического производства частиц.
Кроме того, при окончании инфляции, в фазе ре(пере)нагрева, колебания инфлатона вокруг минимума потенциала могут эффективно взаимодействовать с другими полями, инициируя каскадное производство частиц и восстановление теплового равновесия. В этом процессе важную роль играют нелинейные резонансные явления, описываемые через параметры instability bands в уравнении Матвиева — Ламэ или уравнении Хилла, с решением в форме параболических цилиндрических функций.
Для масштабного фактора a(t) ∝ tp, где p > 1, т.е. ускоренное расширение, уравнение для мод можно привести к виду
$$ u_k'' + \left[ k^2 + m^2 a^2(\eta) - \frac{\nu^2 - 1/4}{\eta^2} \right] u_k = 0, $$
где ν зависит от параметров p и массы m. Решения выражаются через функции Бесселя:
$$ u_k(\eta) = \sqrt{-\eta} \left[ A_k H^{(1)}_\nu(-k\eta) + B_k H^{(2)}_\nu(-k\eta) \right], $$
и коэффициенты Ak, Bk определяются граничными условиями. Рождение частиц происходит, если Bk ≠ 0, а спектр частиц зависит от формы a(t).
Даже если поле не связано напрямую с инфлатоном или другими взаимодействующими полями, оно может рождаться гравитационно — исключительно из-за изменения метрики. Такие механизмы рассматриваются в контексте тёмной материи (например, для стерильных нейтрино, скалярных полей или аксионов), а также в ранней Вселенной, где гравитационное производство тяжёлых частиц может быть источником барионной асимметрии или механизмом реализации сценариев leptogenesis.
Гравитационное рождение частиц особенно эффективно для масштабных переходов: при скачкообразных изменениях H, быстрой эволюции кривизны, а также при разрушении временной адиабатичности. В таких условиях даже поля, находящиеся вне равновесия, могут быть рождены в наблюдаемом количестве.
В присутствии фона с ненулевой температурой или при наличии уже рождённых частиц необходимо учитывать термальные эффекты: поправки к массовому члену, изменение дисперсионных соотношений, а также статистические факторы Бозе и Ферми:
$$ n_k^{(\text{BE/FD})} = \frac{1}{e^{\omega_k / T} \mp 1}, $$
которые модифицируют спектр создаваемых частиц. Кроме того, при взаимодействии с тепловым плазменным фоном возникают эффекты индуцированного излучения и обратного поглощения, что требует рассмотрения кинетических уравнений Больцмана с квантовыми поправками.
Для описания влияния гравитационного поля на вакуумные флуктуации и вычисления плотности создаваемых частиц используется также формализм эффективного действия. В частности, расчёт imaginary part эффективного действия позволяет напрямую получить плотность вероятности рождения частиц:
Γ ∼ Im Seff ∼ ∑kln (1 + |βk|2).
Это аналог формулы Швингера для рождения электрон-позитронных пар в сильном электрическом поле, но теперь с заменой поля на гравитационный фон.
Космологическое производство частиц — краеугольный камень современной физической космологии, напрямую связанный с механизмами инфляции, reheating, структурообразования и происхождения тёмных компонент вещества. Этот процесс иллюстрирует глубинную взаимосвязь между квантовой теорией поля, гравитацией и космологической динамикой, и служит одним из немногих наблюдаемых проявлений КТП в изогнутом пространстве-времени.