Классическая теория поля в общей теории относительности строится на основе лагранжиана, инвариантного относительно общих координатных преобразований. Пространственно-временная метрика gμν(x) при этом считается классической фоновой величиной. Квантованию подвергаются только динамические поля материи, такие как скалярные, векторные или спинорные поля.
Пусть поле ϕ(x) живёт на псевдоримановом многообразии с метрикой gμν(x). Динамика задаётся действием
$$ S[\phi; g] = \int d^4x \sqrt{-g} \, \mathcal{L}(\phi, \nabla_\mu \phi, g_{\mu\nu}), $$
где ∇μ — ковариантная производная, согласованная с метрикой. Квантование полей в данной постановке означает определение оператора поля ϕ̂(x), алгебры коммутационных соотношений и вакуума, на фоне фиксированной метрики.
Такой подход, называемый квантованием на искривлённом фоне, применим в ситуациях, где гравитационное поле достаточно слабо, чтобы не требовать квантования самой метрики.
В плоском пространстве-времени (теории на фоне метрики Минковского) фундаментальным элементом является глобальная симметрия времени, порождающая оператор Гамильтона H, с определением положительной энергии и вакуумного состояния как состояния с наименьшей энергией.
На искривлённом фоне, как правило, отсутствует глобальный вектор Киллинга времени. Это влечёт за собой отсутствие общепринятого критерия для выделения вакуума — фундаментального состояния поля. Более того, оператор Гамильтона может быть не определён, а в некоторых случаях вообще не существует глобального разбиения на пространство и время (фолиации).
Рассмотрим скалярное поле ϕ(x) с лагранжианом
$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{2} g^{\mu\nu} \nabla_\mu \phi \nabla_\nu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 - \frac{1}{2} \xi R \phi^2, $$
где R — скалярная кривизна, ξ — параметр связи с кривизной. Особый случай $\xi = \frac{1}{6}$ в 4 измерениях соответствует конформной связи.
Уравнение Эйлера–Лагранжа принимает вид:
(□−m2 − ξR)ϕ(x) = 0,
где □ = gμν∇μ∇ν — ковариантный д’Аламберт.
Для квантования необходимо выбрать базис решений уравнения движения:
(□−m2 − ξR)ui(x) = 0,
удовлетворяющий ортонормировочным условиям по некоторому скалярному произведению на пространстве решений. Далее вводятся операторы рождения и уничтожения ai†, ai, такие что
ϕ̂(x) = ∑i(aiui(x) + ai†ui*(x)).
Коммутационные соотношения:
[ai, aj†] = δij, [ai, aj] = [ai†, aj†] = 0.
Однако, выбор базиса {ui(x)} не уникален. Это приводит к неоднозначности определения вакуума: разные наблюдатели могут иметь различные наборы мод, соответствующих “частицам”, и, следовательно, разные вакуумы.
Рассмотрим два набора ортонормированных решений {ui}, {ũj}, связанных преобразованием
ũj = ∑i(αjiui + βjiui*).
Такая замена приводит к соответствующему преобразованию операторов:
ãj = ∑i(αji*ai − βji*ai†).
Если коэффициенты βji ≠ 0, то вакуум одного наблюдателя (например, ai|0⟩ = 0) содержит ненулевое число частиц в представлении другого (то есть ⟨0|ãj†ãj|0⟩ ≠ 0). Это фундаментальный эффект, ведущий к явлениям типа излучения Хокинга и эффекта Унру.
В стационарных пространствах с вектором Киллинга времени (например, в метрике Шварцшильда вне горизонта), можно определить энергию и вакуум по аналогии с плоским случаем. Однако за горизонтом, где этот вектор становится пространственным, данная конструкция теряет физический смысл.
В космологических моделях (например, метрика Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера)
ds2 = dt2 − a(t)2dx⃗2,
симметрия по времени отсутствует, а масштабный фактор a(t) приводит к временнозависимому спектру мод. Это ведёт к рождению частиц во времени, даже если поле начиналось в вакуумном состоянии. Классический результат: в быстро расширяющейся Вселенной квантовые флуктуации вакуума могут превращаться в реальные частицы.
Оператор тензора энергии-импульса для скалярного поля:
$$ \hat{T}_{\mu\nu} = \nabla_\mu \hat{\phi} \nabla_\nu \hat{\phi} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} \left( \nabla^\lambda \hat{\phi} \nabla_\lambda \hat{\phi} + m^2 \hat{\phi}^2 \right) + \xi \left( g_{\mu\nu} \Box - \nabla_\mu \nabla_\nu + G_{\mu\nu} \right) \hat{\phi}^2, $$
где Gμν — тензор Эйнштейна. Его вакуумное среднее ⟨0|T̂μν|0⟩ играет центральную роль в обратном влиянии (backreaction) квантовых полей на геометрию.
Однако, это среднее требует регуляризации и перенормировки, поскольку содержит ультрафиолетовые расходимости. Методы включают:
Результат зависит от геометрии и выбора вакуума, но всегда должен быть тензором, удовлетворяющим условию сохранения ∇μ⟨Tμν⟩ = 0.
Классический пример наблюдательной зависимости вакуума — эффект Унру: ускоренно движущийся наблюдатель в вакууме Минковского пространства будет регистрировать тепловое распределение частиц с температурой
$$ T = \frac{a}{2\pi}, $$
где a — ускорение наблюдателя. Это указывает, что понятие “частица” в квантовой теории поля на фоне является локальным и наблюдательно-зависимым.
Формально, для корректного квантования необходима глобальная гиперповерхность Коши, обеспечивающая детерминированную эволюцию. В таких условиях возможно построение формализма функцинала действия (Schwinger–DeWitt), ведущего к представлению квантовой теории через функциональный интеграл:
Z[g] = ∫????ϕ eiS[ϕ; g].
Этот объект может быть использован для вычисления эффективного действия Γ[g], включающего квантовые поправки. При этом
$$ \frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \Gamma}{\delta g^{\mu\nu}} = \langle T_{\mu\nu} \rangle, $$
что даёт общее средство изучения взаимодействия квантовых полей с фоном.
Квантование на изогнутом фоне может привести к аномалиям — явлениям, при которых симметрии классической теории нарушаются на квантовом уровне. В частности:
Аномалии играют важнейшую роль в квантовой гравитации, теориях струн, а также при исследовании излучения чёрных дыр.
Хотя в данной главе речь идёт о квантовании полей на фиксированном фоне, следующий шаг — квантование самой метрики. Формальный подход к линейным возмущениям gμν = ημν + κhμν, приводит к понятию гравитона — безмассовой спин-2 частицы.
Однако теория гравитонов неперенормируема на уровнях выше одной петли. Это стимулировало развитие альтернативных подходов:
Квантовые флуктуации на фоне расширяющейся Вселенной — источник первичных неоднородностей, ответственных за структуру космического микроволнового фона. Анализ таких флуктуаций требует описания квантования полей на нестационарных метриках, таких как де-Ситтера пространство. Это ключ к пониманию инфляции и космогенеза.
Излучение Хокинга, предсказанное из анализа полей на фоне чёрной дыры, стало краеугольным камнем современной теории гравитации. Оно свидетельствует, что чёрные дыры не являются абсолютно чёрными и испаряются, что ставит фундаментальные вопросы о сохранении информации в квантовой гравитации.
Таким образом, квантование полей в общей теории относительности представляет собой не только теоретическую необходимость, но и мощный инструмент для анализа явлений, находящихся на границе наших знаний о природе.