Спинорные поля играют ключевую роль в теории элементарных частиц, поскольку они описывают фермионы — частицы с полуцелым спином, такие как электроны и кварки. Спинорное поле можно представить как многокомпонентный комплексный вектор, который трансформируется по определенному представлению группы Лоренца.
Спинорные поля, в отличие от скалярных, подчиняются более сложным законам преобразования, так как они принадлежат представлениям группы Лоренца, которые действуют на 4-компонентные объекты, называемые Дираковыми спинорами. Эти поля обладают важными свойствами, например, возможностью связывания спина с другими физическими величинами, такими как импульс и энергия.
Для свободной частицы, описываемой спинорным полем, уравнение Дирака имеет вид:
(iγμ∂μ − m)ψ(x) = 0
где γμ — матрицы Гамма, ψ(x) — 4-компонентный спинор, m — масса частицы, ∂μ — частная производная по координатам, а x — 4-вектор пространства-времени.
Матрицы Гамма γμ удовлетворяют антисymmetricным соотношениям
{γμ, γν} = 2ημνI
где ημν — метрика Минковского (обычно ημν = diag(1, −1, −1, −1)) и I — единичная матрица.
Уравнение Дирака описывает поведение частиц, обладающих спином $\frac{1}{2}$, и обеспечивает релятивистскую инвариантность, то есть сохраняет свои формы при преобразованиях Лоренца.
Лагранжиан для свободного спинорного поля Дирака имеет вид:
ℒ = ψ̄(iγμ∂μ − m)ψ
где ψ̄ = ψ†γ0 — сопряженный спинор. Этот Лагранжиан описывает динамику свободного спинорного поля, при этом основным требованием является инвариантность под преобразованиями Лоренца.
Процесс квантования спинорного поля состоит в замене классических полей на операторы, действующие на состояние системы в гильбертовом пространстве. Рассмотрим для начала процесс квантования поля Дирака в рамках канонического квантования.
Предположим, что поле ψ(x) и его сопряженное поле ψ̄(x) удовлетворяют каноническим соотношениям:
{ψα(x), ψβ†(y)} = δαβδ3(x − y)
где индексы α и β обозначают компоненты спинора, а δ3(x − y) — дельта-функция, которая обеспечит локальность взаимодействия.
После введения таких соотношений, спинорное поле ψ(x) может быть разложено по базисным решениям уравнения Дирака. Это разложение имеет вид:
$$ \psi(x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_p}} \sum_s \left( a_p^s u(p, s) e^{-ipx} + b_p^{s\dagger} v(p, s) e^{ipx} \right) $$
где aps и bps† — операторы аннигиляции и создания для частиц и античастиц соответственно, u(p, s) и v(p, s) — спинорные решения уравнения Дирака, $E_p = \sqrt{\mathbf{p}^2 + m^2}$ — энергия частицы, а интеграл берется по всем возможным импульсам.
Операторы aps и bps† удовлетворяют коммутативным соотношениям (для фермионов с антикоммутатором):
{aps, ap′s′†} = δ3(p − p′)δss′
{bps, bp′s′†} = δ3(p − p′)δss′
Операторы aps и bps описывают создание или уничтожение частицы или античастицы с определенным импульсом p и спином s.
Как и в случае с скалярными полями, взаимодействие спинорного поля с другими полями можно включить через взаимодействие в Лагранжиане. Например, взаимодействие поля Дирака с электромагнитным полем описывается следующей частью Лагранжиана:
ℒint = −eψ̄γμAμψ
где Aμ — электромагнитное поле, а e — заряд частицы. Это взаимодействие описывает электрические и магнитные взаимодействия между фермионами (например, электронами) и фотонами, что лежит в основе электродинамики.
Одной из основных трудностей при квантовании спинорных полей является то, что они описывают фермионы, для которых существует принцип запрета Паули. Это требует использования антикоммутирующих операторов, а также правильного обращения с статистикой фермионов при квантовании. Отсутствие симметричности в отличие от бозонов приводит к определенным сложностям при формулировке теории, особенно когда дело касается взаимодействий на низких энергиях.
Тем не менее, квантование спинорных полей является основой современной теории частиц и используется в таких теоретических конструкциях, как Стандартная модель физики частиц, где фермионы (кварки и лептоны) описываются именно с помощью спинорных полей, взаимодействующих с бозонами.