Квантование свободного скалярного поля в контексте квантовой теории поля (КТП) играет важную роль, поскольку оно предоставляет фундаментальную основу для построения теорий взаимодействующих полей. Это квантование позволяет перейти от классических описаний полей к их квантовым аналогам, что важно для всех физических процессов, включая взаимодействие частиц и перенос энергии.
Скалярное поле — это физическое поле, которое на каждой точке пространства-времени может быть описано одним числовым значением, то есть, в отличие от векторного поля, оно не имеет направления. В контексте теории поля скалярные поля используются для моделирования различных физических систем, включая элементы, такие как Higgs-поле в Стандартной модели.
Для свободного скалярного поля в самой простой форме можно записать лагранжиан вида:
$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2, $$
где ϕ(x) — это скалярное поле, m — масса поля, а ∂μϕ — его производная по координатам пространства-времени. Это поле считается свободным, потому что оно не взаимодействует с другими полями, и его лагранжиан не содержит взаимодействующих членов.
Чтобы найти уравнение движения для свободного скалярного поля, применим уравнение Эйлера-Лагранжа, которое для поля ϕ(x) имеет вид:
$$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \right) = 0. $$
Для скалярного поля лагранжиан уже указан, и вычисления дают уравнение:
(∂μ∂μ + m2)ϕ(x) = 0.
Это уравнение, называемое уравнением Клейна — Гордона, описывает эволюцию свободного скалярного поля и является аналогом волнового уравнения для поля.
Квантование поля предполагает переход от классической модели поля к квантовой теории поля. В классической теории поле ϕ(x) трактуется как непрерывная функция. В квантовой теории поле становится оператором, действующим на квантовое состояние системы.
Переход от классической модели к квантовой теории требует разложения поля ϕ(x) на нормальные моды, которые можно интерпретировать как независимые гармонические осцилляторы. Эти моды могут быть описаны как решение уравнения Клейна — Гордона с определёнными волновыми числами k, так что поле принимает вид:
$$ \phi(x) = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_k}} \left( a_k e^{ikx} + a_k^\dagger e^{-ikx} \right), $$
где $\omega_k = \sqrt{k^2 + m^2}$ — энергия для данной волны, ak и ak† — операторы, которые будут интерпретированы как операторы уничтожения и создания частиц соответственно.
На следующем этапе производим квантование оператора поля. Это включает замену полей и их сопряжённых импульсов на операторы, которые действуют на квантовые состояния, например, на вакуумное состояние.
Для оператора поля ϕ̂(x) и сопряжённого импульса $\hat{\pi}(x) = \dot{\hat{\phi}}(x)$ выполняются канонические соотношения коммутации:
[ϕ̂(x), π̂(y)] = iδ(3)(x − y).
Это означает, что операторы полей и импульсов на разных точках пространства-времени не коммутируют, что является основой квантового поведения поля. Операторы ak и ak† удовлетворяют следующим соотношениям:
[ak, ak′†] = (2π)3δ3(k − k′),
в то время как все остальные коммутаторы равны нулю.
В квантовой теории поля вакуумное состояние |0⟩ — это состояние, в котором отсутствуют все частицы. Операторы ak и ak† действуют на вакуум следующим образом:
ak|0⟩ = 0, ak†|0⟩ ≠ 0.
Оператор ak† создает возбуждения поля, которые интерпретируются как частицы, и вакуумное состояние можно считать состоянием “пустоты”, в которой нет частиц.
Квантование поля позволяет вычислить физические свойства поля, такие как энергия и импульс. Для свободного поля энергия может быть выражена через операторы создания и уничтожения:
$$ H = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \omega_k a_k^\dagger a_k. $$
Эта формула представляет собой оператор, который действуя на вакуум, создает частицы с энергиями ωk. Таким образом, энергия квантованного поля описывает суммарную энергию всех возможных мод поля.
Хотя мы рассматриваем свободное скалярное поле, в более сложных теориях, таких как теория взаимодействующих полей, используются аналогичные методы, но с добавлением взаимодействующих членов в лагранжиан. Это позволяет моделировать более сложные процессы, такие как взаимодействие частиц.
Квантование свободного скалярного поля служит основой для понимания квантовых полей и их взаимодействий. Применение метода нормальных мод и канонического квантования позволяет создать более сложные теории, которые описывают взаимодействующие поля и частиц, что имеет фундаментальное значение для современной теоретической физики.