Векторное поле — это физическая величина, которая, как и скалярное поле, ассоциируется с каждой точкой пространства. Однако, в отличие от скалярного поля, которое представляет собой величину, характеризующуюся только числовым значением, векторное поле определяется вектором, то есть имеет направление и величину в каждой точке пространства. В квантовой теории поля такие поля могут быть описаны как операторы, действующие в гильбертовом пространстве. Применение принципов квантования векторных полей важно для описания фундаментальных взаимодействий в природе, включая электромагнитное взаимодействие.
Для начала рассмотрим, как описывать векторное поле в рамках классической теории. Лагранжиан для свободного векторного поля Aμ можно записать в виде:
$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}, $$
где Fμν = ∂μAν − ∂νAμ — электромагнитный тензор, а Aμ — векторный потенциал. Такой лагранжиан является инвариантным относительно преобразований Лоренца.
После того как мы получаем лагранжиан, можно получить уравнения движения с помощью уравнений Эйлера-Лагранжа:
∂μFμν = 0.
Эти уравнения описывают поведение электромагнитного поля в вакууме.
Чтобы квантовать векторное поле, нужно применить теорию поля как набор операторов, действующих на состояние в гильбертовом пространстве. Рассмотрим поле Aμ, которое для свободного случая представляется как сумму гармонических осцилляторов в разных точках пространства-времени. Таким образом, поле Aμ можно представить как сумму операторов, взаимодействующих с другими полями.
Для квантования векторного поля мы используем преобразование Фурье:
$$ A_\mu(x) = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_k}} \left( a_\mu(k) e^{-ikx} + a^\dagger_\mu(k) e^{ikx} \right), $$
где aμ(k) и aμ†(k) — операторы annihilation и creation, соответственно, которые действуют на состояние в гильбертовом пространстве. Энергия частицы, ассоциированная с полем, равна $E_k = \sqrt{k^2 + m^2}$, где m — масса частиц.
При таком квантовании операторы aμ(k) и aμ†(k) удовлетворяют коммутационным соотношениям:
[aμ(k), aν†(k′)] = δ(3)(k − k′)ημν,
где ημν — метрика пространства-времени.
Электромагнитное поле является примером векторного поля, описывающего взаимодействие зарядов через электромагнитные силы. Оно состоит из двух частей: электрического E и магнитного B полей. В квантовой теории электромагнитное поле рассматривается как квантованное поле, состоящее из фотонов, которые являются бозонами с нулевой массой.
Лагранжиан для электромагнитного поля можно записать как:
$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} - J^\mu A_\mu, $$
где Jμ — внешний источник, например, электрический ток. Этот лагранжиан описывает взаимодействие поля с зарядом, в то время как первый термин соответствует свободному электромагнитному полю.
Как и в случае с любым векторным полем, квантование электромагнитного поля сводится к разложению поля на моды и применению оператора создания и уничтожения. Переходя к квантованию, мы записываем поле Aμ(x) как сумму операторов:
$$ A_\mu(x) = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_k}} \left( a_\mu(k) e^{-ikx} + a^\dagger_\mu(k) e^{ikx} \right), $$
где операторы aμ(k) и aμ†(k) удовлетворяют коммутационным соотношениям, аналогичным тем, что были записаны для произвольного векторного поля. В результате этого квантования, поле Aμ(x) превращается в совокупность квантованных осцилляторов.
В квантовой электродинамике (КЭД) взаимодействие фотонов с зарядами описывается через операторы взаимодействия. Для заряженной частицы взаимодействие с электромагнитным полем выражается через Hamiltonian, который можно записать как:
Hint = −e∫d3x ψ̄(x)γμAμ(x)ψ(x),
где ψ(x) — поле фермиона (например, электронного поля), γμ — матрицы Дирака, а Aμ(x) — электромагнитный потенциал. Это уравнение описывает взаимодействие заряженных фермионов с электромагнитным полем через фотон.
Квантование векторных полей, включая электромагнитное поле, является ключевым элементом квантовой теории поля. Важность этого подхода заключается в его применении к реальным физическим системам, где взаимодействия происходят через поля, которые следует описывать как квантованные. В случае электромагнитного поля это квантование ведет к созданию теории, объясняющей электромагнитные взаимодействия между частицами, что составляет основу квантовой электродинамики.