Квантовая теория информации изучает фундаментальные границы передачи, обработки и хранения информации в системах, описываемых законами квантовой механики. При применении к квантовой теории поля (КТП) эта дисциплина приобретает особую глубину, поскольку КТП описывает бесконечномерные системы с неограниченным числом степеней свободы. Связь между квантовой информацией и КТП проявляется, в частности, в анализе энтропии запутанности, структуры вакуума, универсальности квантовых корреляций и голографической энтропии.
Пусть |Ψ⟩ — чистое состояние квантовой поля, определённое на пространстве ℝd, и пусть область пространства A ⊂ ℝd определяет поднабор степеней свободы. Общая волновая функция порождает редуцированную матрицу плотности ρA = TrĀ|Ψ⟩⟨Ψ|, где Ā — дополнение A. Эту операцию называют частичным трассированием.
Фундаментальной мерой квантовой корреляции между A и Ā является энтропия фон Неймана:
SA = −Tr(ρAlog ρA).
Эта энтропия не нулевая даже в вакуумном состоянии КТП и демонстрирует сложную структуру запутанности, зависящую от геометрии A, ультрафиолетовой отсечки и размерности пространства.
Для вакуума КТП энтропия запутанности подчиняется закону площади:
$$ S_A \sim \frac{\mathrm{Area}(\partial A)}{\epsilon^{d-2}} + \dots, $$
где ϵ — ультрафиолетовая отсечка, а ∂A — граница области A. Основной вклад масштабируется с площадью границы, а не объёмом A, что отражает локальность поля и глубокую связь с гравитацией (в частности, с энтропией чёрных дыр).
В теории поля используются и более тонкие меры запутанности:
Эти меры позволяют описывать фазовые переходы, неуловимые традиционными порядками, и выявлять топологические фазы, характеризуемые, например, топологическим вкладом в энтропию:
SA = αL − γ + …,
где γ — топологическая энтропия, зависящая от глобальных свойств состояния.
Конформные теории поля (КТП) представляют особый интерес, поскольку они обладают симметриями, позволяющими аналитически исследовать поведение энтропии запутанности. В 1 + 1 размерности для интервала длины l в вакууме КТП имеем:
$$ S(l) = \frac{c}{3} \log \left( \frac{l}{\epsilon} \right), $$
где c — центральный заряд теории. Это выражение иллюстрирует логарифмический рост запутанности в критической теории и подчёркивает её универсальность.
Многоточечные корреляторы, используемые в вычислении Tr(ρAn), выражаются через много-листовые римановы поверхности, что связывает квантовую информацию с алгебраической геометрией и теорией модульных форм.
В рамках голографической дуальности (например, AdS/CFT) энтропия запутанности в граничной теории поля выражается через геометрию в объёме:
$$ S_A = \frac{\mathrm{Area}(\gamma_A)}{4 G_N}, $$
где γA — минимальная поверхность в объёмной (bulk) геометрии, гомологичная A, а GN — ньютоновская постоянная в пространстве AdS. Это соотношение, предложенное Рюу и Такаянаги, интерпретируется как аналог формулы Бекенштейна–Хокинга и иллюстрирует глубокую связь между запутанностью и пространственно-временной структурой.
Голографическая интерпретация подчёркивает идею, что геометрия возникает из запутанности. Объёмы, расстояния и каузальность могут быть реконструированы из квантово-информационных свойств граничной теории.
Редуцированная матрица плотности может быть формально записана как:
$$ \rho_A = \frac{e^{-K_A}}{\mathrm{Tr}(e^{-K_A})}, $$
где KA — модульный гамильтониан. Для общего случая KA — нелокальный оператор, но в некоторых ситуациях он принимает локальный вид. Например, для полупространства в вакууме конформной теории:
KA = 2π∫x > 0dx xT00(x),
что показывает связь запутанности с энергетным потоком и положительной определённостью модульной энергии. Это приводит к формулировке неравенства относительно энтропии, аналогов второго начала термодинамики в квантовой информации.
Энтропия запутанности даёт путь к доказательствам c-теорем и их аналогов в различных размерностях. Так, в двумерной КТП функция
$$ c(l) = 3 l \frac{dS(l)}{dl} $$
монотонно убывает вдоль ренормгруппового потока и достигает постоянного значения в точках фиксированного масштаба. Это связывает потерю степени свободы с убыванием запутанности, обеспечивая количественное описание информационного потока при масштабировании.
В размерности d = 3 аналогом выступает F-теорема, где свободная энергия на трёхсфере убывает вдоль потока.
В теории поля важную роль играют наблюдаемые, определённые в ограниченных областях пространства-времени. К ним относятся:
Операторы Вилсона участвуют в описании конфинемента, дуальности, а также дают доступ к неабелевым структурам запутанности, включая цветовую и топологическую составляющие.
Анализ запутанности при удалённых наблюдателях приводит к рассмотрению асимптотических симметрий и мягких мод. Эти аспекты особенно значимы в квантовой гравитации и теории чёрных дыр, где запутанность между внутренними и внешними степенями свободы порождает проблемы унитарности и «информационного парадокса».
В квантовой теории поля естественно использовать алгебру фон Неймана ????(O), связанную с ограниченной областью O пространства-времени. Эти алгебры — обычно факторы типа III, не имеющие следа и не допускающие конечномерной редукции. Это приводит к особой трактовке понятий «чистого» и «смешанного» состояния в КТП.
Следствия этого включают:
Несмотря на абстрактность формализма, аспекты квантовой информации находят отражение в:
Эти подходы позволяют тестировать фундаментальные идеи КТП и квантовой информации в контролируемых лабораторных условиях.