Квантовые фазовые переходы (КФП) — это критические явления, происходящие при абсолютном нуле температуры, когда изменения в параметрах гамильтониана (в отличие от тепловых флуктуаций) вызывают переход системы из одной фазы в другую. В отличие от классических фазовых переходов, управляемых термодинамическими переменными, квантовые переходы обусловлены квантовыми флуктуациями, порожденными принципом неопределенности Гейзенберга. КФП имеют фундаментальное значение в квантовой теории поля (КТП), особенно в контексте эффективных действий, ренормализационной группы, критических экспонент и скейлинговых гипотез.
Квантовая критическая точка (QCP) возникает при нулевой температуре в результате изменения безразмерного параметра, такого как отношение константы связи к энергии кинетики. Близость к QCP проявляется в критическом поведении даже при конечной температуре, если масштаб тепловой энергии kBT становится сравним с энергией квантовых флуктуаций ℏω. Такое критическое поведение может проявляться в аномальных термодинамических и транспортных свойствах, например, в нелинейной температурной зависимости проводимости или теплоёмкости.
Путь к пониманию КФП лежит через формализм интеграла по траекториям. При низких температурах важными становятся не только пространственные, но и временные корреляции. Следовательно, действие принимает форму в (d+1)-мерном пространстве-времени (d — пространственная размерность, 1 — размерность “времени”), где “время” — это евклидово время τ = it, возникающее в результате Вика-поворота:
$$ S_{\text{eff}}[\phi] = \int d\tau \, d^d x \left[ \frac{1}{2} \left( \partial_\tau \phi \right)^2 + \frac{1}{2} \left( \nabla \phi \right)^2 + \frac{r}{2} \phi^2 + \frac{u}{4!} \phi^4 \right] $$
Такое действие описывает универсальное критическое поведение при КФП. Параметр r контролирует отклонение от критической точки: при r > rc система находится в симметричной фазе, при r < rc — в фазе с нарушенной симметрией.
Ренормализационная группа (РГ) в квантовой теории поля предоставляет методологию для анализа поведения систем вблизи КФП. Подобно классическим критическим явлениям, КФП характеризуются фиксированной точкой в пространстве параметров теории. Однако квантовая природа приводит к тому, что к пространственной размерности добавляется временная компонент, и, таким образом, эффективная размерность системы составляет deff = d + z, где z — динамическое критическое число (critical dynamical exponent), характеризующее масштабирование времени:
t → bzt, x → bx
РГ-анализ позволяет извлечь критические экспоненты ν, η, z и другие, которые определяют универсальные свойства системы.
Как и в случае классических переходов, существует множество классов универсальности, определяемых симметриями, размерностью и типом порядка. Например:
Таким образом, универсальные свойства квантового критического поведения подчиняются тем же принципам, что и в классической статистике, но в обобщенном (d+z)-мерном контексте.
1. Одномерная модель Транса в поперечном поле
H = −J∑iσixσi + 1x − h∑iσiz
При изменении отношения h/J происходит квантовый фазовый переход между ферромагнитной и парамагнитной фазами. В точке h = J возникает критическая точка, эквивалентная двумерной классической модели Изинга.
2. Бозе-Хаббардовская модель
$$ H = -t \sum_{\langle i,j \rangle} (b_i^\dagger b_j + h.c.) + \frac{U}{2} \sum_i n_i (n_i - 1) - \mu \sum_i n_i $$
Переход между суперфлюидной фазой и Моттовским изолятором при изменении отношения t/U представляет собой нетривиальный квантовый фазовый переход, особенно в низких размерностях. КФП здесь связан с нарушением U(1)-симметрии и описывается (d+1)-мерной моделью XY.
3. Фермионные системы с нестабильностью Ферми-поверхности
Квантовые фазовые переходы могут происходить в электронных системах, когда поверхность Ферми становится нестабильной к образованию порядка — например, плотностной волны (CDW), антиферромагнитного порядка или сверхпроводимости. Квантовая критическая точка влияет на физику возбуждённых состояний и может приводить к “некогерентному” поведению, например, к исчезновению квазичастиц.
Поскольку реальные эксперименты проводятся при конечной температуре, проявление квантового критического поведения происходит в ограниченной области (r, T)-фазовой диаграммы. Вблизи критической точки при T > 0 формируется так называемый квантово-критический веер — область, где преобладают квантовые флуктуации над тепловыми. В этом секторе наблюдаются:
Эта область особенно важна в изучении высокотемпературных сверхпроводников, тяжёлых фермионных систем и квантовых магнитов.
КФП тесно связаны с теорией квантовой информации, особенно через понятие энтропии запутанности. Вблизи КФП наблюдается характерное масштабное поведение энтропии подмножеств системы:
$$ S_A \sim \frac{c}{3} \log L $$
где c — центральный заряд соответствующей двумерной конформной теории поля, L — длина подмножества. Это позволяет использовать методы КТП и КФП в анализе квантовых вычислений, коррекций ошибок и топологических фаз.
Особый интерес вызывают КФП, не сопровождающиеся локальным параметром порядка, а описываемые топологическими инвариантами. Примеры:
Такие переходы нельзя описать в рамках теории Ландау — они требуют более общего подхода, включающего топологические термины в действии (например, θ-термы или термы Черна-Саймонса).
Поскольку аналитические решения возможны лишь в ограниченном числе случаев, важную роль играют численные методы:
Каждый метод предъявляет свои ограничения (например, проблема знака в Монте-Карло), однако в совокупности они дают полную картину критического поведения.
Рассмотрение КФП в контексте различных типов квантовых полей позволяет понять разнообразие возможных критических феноменов:
Такая классификация расширяет область применения КФП вплоть до конденсированной материи, теории элементарных частиц и космологии.