Квазиклассическое приближение представляет собой важный аналитический инструмент в квантовой теории поля (КТП), применяемый в тех режимах, где квантовые флуктуации малы по сравнению с классическим действием. Этот подход особенно полезен в исследованиях нетривиальной структуры вакуума, туннелирования между различными вакуумными состояниями и явлений, происходящих за пределами возмущательной теории.
Формально, квазиклассическое приближение основывается на методе стационарной фазы в функциональном интеграле:
$$ Z = \int \mathcal{D}\phi \, e^{\frac{i}{\hbar} S[\phi]}, $$
где S[ϕ] — действие конфигурации поля ϕ. В пределе ℏ → 0 (или эквивалентно, S ≫ ℏ), основной вклад в интеграл дают конфигурации, удовлетворяющие уравнениям Эйлера–Лагранжа:
$$ \frac{\delta S}{\delta \phi(x)} = 0. $$
Для исследования квантовых эффектов, таких как туннелирование, особенно полезна аналитическая продолженность к евклидовому времени: t → −iτ. Тогда действие становится евклидовым:
$$ S_E[\phi] = \int d^4x_E \left[ \frac{1}{2}(\partial_\mu \phi)^2 + V(\phi) \right], $$
а путь в функциональном интеграле определяется по экстремуму SE[ϕ]. Конфигурации, минимизирующие евклидово действие, но не являющиеся тривиальными вакуумными решениями, называют инстантонами.
Инстантоны — это локализованные во времени (в евклидовом времени) конфигурации полей, описывающие туннельный переход между различными топологическими секторами теории. Они играют ключевую роль в описании квантовых эффектов, которые не уловимы в рамках обычного возмущательного разложения.
Рассмотрим скалярную теорию с потенциальной энергией
$$ V(\phi) = \frac{\lambda}{4}(\phi^2 - v^2)^2, $$
имеющей два вырожденных минимума в ϕ = ±v. В классической теории, система, находясь в одном минимуме, никогда не перейдёт в другой. Однако в квантовой теории возможен переход посредством туннелирования. Этот процесс описывается евклидовой конфигурацией ϕinst(τ), интерполирующей между −v и +v при τ → ±∞.
Решение уравнения движения в евклидовом времени:
$$ \frac{d^2\phi}{d\tau^2} = \frac{dV}{d\phi}, $$
приводит к инстантонной конфигурации:
$$ \phi_{\text{inst}}(\tau) = v \tanh\left[\frac{m}{2}(\tau - \tau_0)\right], \quad m = \sqrt{2\lambda}v. $$
Полная вероятность туннелирования оценивается как
Γ ∝ e−SE[ϕinst]/ℏ,
что подчёркивает экспоненциальное подавление таких процессов при малом ℏ и большом SE.
В более сложных теориях, например, в неабелевых калибровочных теориях, инстантоны классифицируются топологически. Они характеризуются топологическим зарядом, или числом Пончиягина, определяемым как
$$ Q = \frac{1}{32\pi^2} \int d^4x \, \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \, \text{Tr} \left[ F_{\mu\nu} F_{\rho\sigma} \right], $$
где Fμν — тензор напряжённости поля Янга–Миллса. Значение Q ∈ ℤ соответствует числу обёртываний евклидова пространства-времени S4 в группу калибровочных преобразований, например SU(2) → S3.
Инстантоны с Q = 1 минимизируют действие среди всех нетривиальных конфигураций:
$$ S_E = \frac{8\pi^2}{g^2} |Q|. $$
Таким образом, вклад инстантонов подавляется как e−8π2/g2, что указывает на их неперебираемый (nonperturbative) характер: такой вклад нельзя получить в любом порядке теории возмущений.
В контексте SU(2) калибровочной теории инстантонное решение в калибровке ’т Хоофта имеет вид:
$$ A_\mu^a(x) = \frac{2 \eta_{a\mu\nu}(x - x_0)^\nu}{(x - x_0)^2 + \rho^2}, $$
где ηaμν — символы ’т Хоофта, ρ — размер инстантона, x0 — его центр. Эта конфигурация является решением уравнений движения и самодуальной:
$$ F_{\mu\nu} = \tilde{F}_{\mu\nu}, \quad \tilde{F}_{\mu\nu} = \frac{1}{2} \epsilon_{\mu\nu\rho\sigma} F^{\rho\sigma}. $$
Величина действия:
$$ S_E = \frac{8\pi^2}{g^2}, $$
не зависит от ρ, что приводит к модулевому пространству инстантонов, параметризуемому x0 и ρ, и требует осторожного обращения с интеграцией по этим модулевым параметрам в вычислениях.
Для извлечения физических предсказаний из инстантонных конфигураций необходимо вычислять функциональные интегралы в их окрестности. При этом учитываются малые флуктуации:
ϕ(x) = ϕinst(x) + η(x),
и соответствующее разложение действия:
$$ S_E[\phi] = S_E[\phi_{\text{inst}}] + \frac{1}{2} \int d^4x \, \eta(x) \, \hat{O} \, \eta(x) + \cdots, $$
где Ô — оператор малых колебаний (например, оператор Лапласа плюс потенциал). Вклад в интеграл даёт определитель этого оператора:
Z ∼ e−SE[ϕinst]/ℏ ⋅ (det Ô)−1/2.
Нули этого оператора соответствуют модулевым параметрам, и их вклад выделяется с помощью метода коллективных координат.
Инстантоны также играют важную роль в объяснении аномалий. Например, в квантовой хромодинамике (КХД) инстантоны объясняют U(1)-аномалию, ответственную за массу η′-мезона. Аномальное несохранение осевого тока:
$$ \partial_\mu j_5^\mu = \frac{g^2}{16\pi^2} \text{Tr} \left( F_{\mu\nu} \tilde{F}^{\mu\nu} \right), $$
приводит к ненулевому дивергенции вблизи инстантонной конфигурации. Это влечёт за собой нарушение симметрии U(1)A, несмотря на её классическую сохранность.
Инстантоны делают физически наблюдаемым параметр θ в лагранжиане:
$$ \mathcal{L}_\theta = \frac{g^2 \theta}{32\pi^2} \text{Tr} \left( F_{\mu\nu} \tilde{F}^{\mu\nu} \right). $$
Хотя этот член является полным дивергенцией и не влияет на уравнения движения, его вклад в действие на инстантонных конфигурациях:
Sθ = iθQ,
приводит к фазовому множителю eiθQ в амплитудах. Таким образом, физические наблюдаемые, чувствительные к инстантонам, зависят от θ. В КХД это порождает проблему сильного CP-нарушения.
При конечной температуре T топология пространства-времени изменяется: евклидовое время компактно с периодом β = 1/T. Это приводит к появлению калоронов — термически модифицированных инстантонов. Их свойства существенно отличаются от обычных инстантонов, особенно в фазе деконфайнмента. Инстантоны распадаются на “диинстантоны” — монопольные фрагменты, играющие важную роль в понимании механизма конфайнмента и фазовых переходов в КХД.
Наличие фермионных полей приводит к новым интересным эффектам. При квантовании в инстантонном фоне возникает нулевой режим для операторов Дирака. Это отражается в том, что функциональный интеграл по фермионным переменным в присутствии инстантона даёт нулевой результат, если не вставлены соответствующие фермионные операторы. Это приводит к появлению нелокальных эффективных взаимодействий типа ’т Хоофта, нарушающих аксиальные симметрии.
Пример для одного сорта фермиона:
⟨ψ(x1)ψ̄(x2)⟩inst ≠ 0,
что невозможно в тривиальном фоне. Это имеет глубокие последствия для физики сильных взаимодействий, включая спонтанное нарушение хиральной симметрии.