Важнейшей концепцией квантовой теории поля (КТП) является использование принципа наименьшего действия для описания динамики физических систем, включая поля. В этой главе рассмотрим, как принцип наименьшего действия применяется к полям, а также как Лагранжева механика может быть использована для формулирования уравнений движения для полевых систем.
Лагранжева механика является мощным инструментом в классической физике для описания динамики физических систем. В её основе лежит принцип наименьшего действия, который утверждает, что путь, по которому развивается система, минимизирует (или делает стационарным) интеграл по времени от Лагранжиана системы. В контексте механики частиц Лагранжиан L выражается через кинетическую энергию T и потенциал V системы:
L = T − V.
Для системы из частиц Лагранжиан является функцией обобщённых координат и скоростей частиц. Однако для полевых систем Лагранжиан должен быть обобщен таким образом, чтобы учитывать не только дискретные частицы, но и континуальные поля.
Поле в квантовой теории поля представляет собой функцию, которая определяет физическое состояние в каждой точке пространства-времени. Величина поля может быть скалярной, векторной или более сложной, в зависимости от типа поля. Лагранжиан для поля должен включать кинетическую и потенциальную энергию поля, а также взаимодействия с другими полями или частицами. Например, для скалярного поля Лагранжиан ℒ может быть записан в виде:
$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \, \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2, $$
где ϕ — это скалярное поле, m — его масса, а ∂μϕ — производная поля по пространственно-временным координатам. Этот Лагранжиан описывает простое поле без взаимодействий, где первая часть выражает кинетическую энергию, а вторая — потенциальную.
Принцип наименьшего действия для полевых систем аналогичен принципу для частиц, но требует обобщения на функции, зависящие от координат пространства-времени. Для поля действие S выражается как интеграл по всему пространству и времени от Лагранжиана:
S = ∫d4x ℒ,
где интеграл берется по четырёхмерному пространству-времени, и ℒ является Лагранжианом поля. Вариация действия приводит к уравнениям движения для поля, которые называют уравнениями Эйлера-Лагранжа для полевых систем.
Для скалярного поля вариация действия даёт уравнение движения, называемое уравнением Клейна — Гордона:
□ϕ + m2ϕ = 0,
где оператор □ = ∂μ∂μ — это д’Aламберов оператор, который включает производные по времени и пространству. Это уравнение описывает свободное скалярное поле в вакууме.
Лагранжиан может быть расширен для более сложных полевых систем. Например, для векторного поля, такого как электромагнитное поле, Лагранжиан будет включать взаимодействие между полем и зарядом. Лагранжиан электромагнитного поля в вакууме записывается как:
$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}, $$
где Fμν — это тензор напряженности поля, определяемый через потенциал Aμ как:
Fμν = ∂μAν − ∂νAμ.
Такой Лагранжиан описывает динамику электромагнитного поля в вакууме без источников. Вариация действия с этим Лагранжианом приводит к уравнениям Максвелла для электромагнитного поля.
В квантовой теории поля взаимодействие полей также описывается через Лагранжиан. Например, взаимодействие между скалярным полем и электромагнитным полем можно добавить в Лагранжиан с помощью взаимодействующего члена. Для этого скалярное поле ϕ может быть связано с электромагнитным потенциалом Aμ через взаимодействие типа ϕFμνFμν, что даёт возможность описания взаимодействий между полями.
Таким образом, Лагранжева механика в квантовой теории поля не только описывает поля, но и их взаимодействие, что делает её основой для построения более сложных теорий, таких как электрослабое взаимодействие и теории сильных взаимодействий.
После того как уравнения движения для полевых систем получены, следующим шагом является квантование полей. Квантование поля включает замену классических полей на операторы, которые действуют на квантовые состояния. Например, скалярное поле может быть представлено как операторы, действующие на вакуумное состояние и возбуждающие его в частицы и антипартицы. Это основа для построения квантовых теорий поля, таких как теория взаимодействий частиц в рамках Стандартной модели.
Лагранжева механика и принцип наименьшего действия являются основой для описания динамики полей в квантовой теории поля. Эти концепции позволяют сформулировать уравнения движения для различных типов полей, включая скалярные и векторные поля, а также описывать их взаимодействие. Квантование полей приводит к созданию теории, которая успешно объясняет физические явления на микроскопическом уровне, включая взаимодействия элементарных частиц.