Лагранжиан квантовой электродинамики (QED) является основой теоретического описания взаимодействий заряженных частиц с электромагнитным полем. В квантовой электродинамике основное внимание уделяется описанию процесса взаимодействия между электронами (или другими фермионами) и фотонами, и для этого используется поле Лагранжа.
Для начала рассмотрим свободные поля: фермионы и фотоны. Лагранжиан для этих полей описывает их поведение без взаимодействия между ними.
Лагранжиан свободного фермионного поля (например, электрона) записывается через уравнение Дирака. Он имеет вид:
ℒфермион = ψ̄(iγμ∂μ − m)ψ
Здесь:
Этот Лагранжиан описывает свободное движение фермионов (например, электрона) в вакууме, без каких-либо внешних воздействий.
Для описания свободного фотонного поля используется Лагранжиан, который включает в себя электромагнитное поле. Его можно записать через тензор поля Fμν, который является антитензорной производной от четырёхпотокового поля Aμ:
$$ \mathcal{L}_\text{фотон} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} $$
где Fμν = ∂μAν − ∂νAμ — тензор электромагнитного поля, а Aμ — четырёхпотоковое поле фотона.
Этот Лагранжиан описывает вакуумное состояние электромагнитного поля, которое не взаимодействует с другими частицами. Он приводит к уравнениям Максвелла для электромагнитного поля.
Теперь, чтобы учесть взаимодействие фермионов и фотонов, необходимо добавить к Лагранжиану термины, которые будут описывать это взаимодействие. Взаимодействие между фотонами и электронами в квантовой электродинамике реализуется через минимизацию действия в принципе на калибровочном преобразовании.
Для включения взаимодействия фермионов с электромагнитным полем используется ковариантная производная, которая заменяет обычную производную в Лагранжиане фермионов:
∂μ → Dμ = ∂μ − ieAμ
где e — заряд электрона, а Aμ — четырёхпотоковое поле фотона. Таким образом, Лагранжиан для взаимодействующего фермионного поля принимает вид:
ℒвзаимодействие = ψ̄(iγμDμ − m)ψ = ψ̄(iγμ(∂μ − ieAμ) − m)ψ
Этот термин в Лагранжиане описывает взаимодействие электрона с электромагнитным полем, где второй член (включающий Aμ) непосредственно связан с электрическим и магнитным взаимодействием.
Взаимодействие фотонов с электронами, представленное через ковариантную производную, даёт нам важную информацию о механизме взаимодействий. Этот процесс может быть интерпретирован как переход от свободных электронов к процессам, где они поглощают или излучают фотоны. В частности, такой Лагранжиан описывает взаимодействие как обмен виртуальными фотонами между частицами, что непосредственно связано с диаграммами Фейнмана.
Общий Лагранжиан квантовой электродинамики будет включать все термины, описывающие как свободные поля, так и их взаимодействие. Он имеет вид:
$$ \mathcal{L}_\text{QED} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi - \frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} - ie \bar{\psi} \gamma^\mu A_\mu \psi $$
Этот Лагранжиан объединяет все компоненты: свободное движение электронов и фотонов, а также их взаимодействие. Первая часть выражает Лагранжиан свободных фермионов, вторая — свободное электромагнитное поле, а третья часть описывает взаимодействие между электронами и фотонами.
Из Лагранжиана можно получить уравнения движения для электронов и фотонов с помощью вариационного принципа. Для фермионов уравнение Дирака с минимизацией Лагранжиана приводит к уравнению Дирака для заряженных частиц, взаимодействующих с электромагнитным полем:
(iγμ∂μ − m)ψ = eγμAμψ
Для фотонов уравнение Эйлера-Лагранжа даёт уравнение Максвелла, описывающее электромагнитное поле:
∂μFμν = jν
где jν = eψ̄γνψ — четырёхтоковый ток, обусловленный взаимодействием фермионов и фотонов.
Лагранжиан квантовой электродинамики служит фундаментальной основой для построения теории взаимодействия частиц, а также для вычисления величин, таких как рассеяние, сечение, вероятности переходов. Он позволяет нам перейти от классической теории электромагнитных взаимодействий к квантовой теории, где поле электромагнитных взаимодействий (фотоны) становится квантованным и взаимодействуют с частицами, образуя полную картину процессов, таких как создание и аннигиляция пар, рассеяние и излучение.
Таким образом, Лагранжиан квантовой электродинамики не только даёт математическое описание взаимодействий в теории, но и служит основой для предсказания результатов экспериментов в области квантовых взаимодействий.