Минимальные модели и дискретные серии

Алгебра Вирасоро и представления

В двумерной конформной теории поля (КТП) фундаментальную роль играет алгебра Вирасоро, задающая бесконечномерную расширенную симметрию. Она определяется коммутаторами:

$$ [L_m, L_n] = (m - n) L_{m+n} + \frac{c}{12} m (m^2 - 1) \delta_{m+n,0}, $$

где Ln — генераторы алгебры, c — центральный заряд. Представления алгебры Вирасоро классифицируются по наивысшему весу h, определяющему действие L0, и вектору состояния |h⟩, аннулируемому всеми Ln при n > 0.

Из этого состояния строится модуль Верма — пространство, получаемое действием понижающих операторов L−n на |h⟩. Однако не все такие представления неприводимы. При определённых значениях c и h внутри модуля могут возникать сингулярные векторы, аннулируемые действием Ln при n > 0. Наличие таких векторов приводит к факторизации представления и появлению неприводимых квот-модулей.

Условие вырождения: уравнение Кацa

Ключевым результатом является нахождение тех значений (c, h), при которых в модуле Верма существует сингулярный вектор на уровне rs, где r, s ∈ ℕ. Это происходит, когда параметры удовлетворяют условию вырождения Кацa:

$$ h_{r,s} = \frac{[(m+1)r - ms]^2 - 1}{4m(m+1)}, \quad c = 1 - 6\frac{(m - 1)^2}{m(m+1)}, $$

где m ≥ 2 — целое число, определяющее серию моделей. При этих значениях представления оказываются вырожденными, а значит, теория допускает конечное число первичных полей с особыми свойствами.

Минимальные модели: определение и построение

Минимальные модели — это особые двумерные КТП, в которых спектр первичных полей конечен. Они реализуются как унитарные представления алгебры Вирасоро с центральным зарядом:

$$ c = 1 - \frac{6}{m(m+1)}, \quad m = 3,4,5,\dots $$

В рамках каждой минимальной модели первичные поля обозначаются ϕr, s, где 1 ≤ r ≤ m − 1, 1 ≤ s ≤ m, с отождествлением ϕr, s ≡ ϕm − r, m + 1 − s, чтобы избежать избыточности. Таким образом, общее число независимых полей:

$$ N = \frac{1}{2}(m-1)m. $$

Каждому полю ϕr, s соответствует определённый вес hr, s, вычисляемый по формуле выше. Учитывая унитарность, только для m = 3, 4, 5, … все hr, s положительны и теория остаётся физически приемлемой.

Примеры минимальных моделей:

  • m = 3, $c = \frac{1}{2}$: модель Изинга;
  • m = 4, $c = \frac{7}{10}$: трикритическая модель Изинга;
  • m = 5, $c = \frac{4}{5}$: модель Поттса с Q = 3.

Структура операторных произведений

Конечность набора полей в минимальных моделях приводит к замкнутости алгебры операторных произведений (Operator Product Expansion, OPE). Если ϕi, ϕj — два первичных поля, то их произведение разлагается как:

ϕi(z)ϕj(0) ∼ ∑kCijkzhk − hi − hjϕk(0) + вторичные члены,

где Cijk — структурные константы. В минимальных моделях только конечное число полей ϕk дают вклад в разложение. Это делает теорию вычислимой: все корреляционные функции определяются конечным числом констант.

Модулярные инварианты и спектр модели

При рассмотрении теории на торе (например, при вычислении обобщённого индекса, или характеров) возникает требование модулярной инвариантности: инвариантность под действием группы SL(2, ℤ), порождённой преобразованиями τ → −1/τ, τ → τ + 1.

Для каждой минимальной модели можно построить модулярно-инвариантную комбинацию характеров. Характер модуля ????hr, s имеет вид:

$$ \chi_{r,s}(\tau) = \frac{1}{\eta(\tau)} \sum_{n=-\infty}^\infty \left( q^{\Delta_{r,s + 2nm}} - q^{\Delta_{-r,s + 2nm}} \right), $$

где η(τ) — функция Дедекинда, q = e2πiτ, и $\Delta_{r,s} = h_{r,s} - \frac{c}{24}$. Правильный спектр определяется выбором модулярно-инвариантной комбинации таких характеров.

Дискретные серии и классификация

Все унитарные минимальные модели соответствуют дискретной серии алгебры Вирасоро. Дискретная серия представлений — это те значения c и h, которые допускают унитарные, вырожденные, неприводимые представления. Основные особенности дискретной серии:

  • Центральный заряд c = 1 − 6/(m(m + 1));
  • Ограниченное множество первичных полей ϕr, s;
  • Существование сингулярных векторов и факторизация модулей;
  • Унитарность и модулярная инвариантность при правильной сборке спектра.

Таким образом, дискретные серии реализуются исключительно при целочисленных m ≥ 3 и составляют полностью классифицированную последовательность унитарных двумерных КТП с минимальным числом степеней свободы.

Связь с критическими явлениями

Минимальные модели играют ключевую роль в статистической физике: они описывают критическое поведение двумерных моделей на решётке. Конкретно:

  • Изинг-модель при температуре Кюри соответствует минимальной модели M(3, 4);
  • Трикритическая Изинг-модель — M(4, 5);
  • 3-стейт Поттс-модель — M(5, 6);
  • И т.д.

В этих моделях корреляционные функции, критические индексы и универсальные величины могут быть точно вычислены из КТП, подтверждаясь как аналитически, так и численно.

Расширения и логарифмические теории

Хотя минимальные модели являются строго определёнными, существуют их обобщения:

  • Логарифмические КТП — при предельных значениях c (например, c = 0) или нарушении унитарности;
  • Расширенные алгебры — такие как W-алгебры, где добавляются дополнительные генераторы, сохраняющие конечность спектра;
  • Граничные минимальные модели — включающие условия на краях пространства-времени, приводящие к нетривиальной структуре граничных состояний и новым фазам.

Эти направления расширяют применимость минимальных моделей в теоретико-физических и математических исследованиях.

Оглавление