Калибровочные поля играют фундаментальную роль в теории взаимодействий элементарных частиц. В квантовой теории поля (КТП) эти поля описывают взаимодействие частиц через обмен калибровочными бозонами, которые соответствуют генераторам симметрий группы калибровок. В теории взаимодействий с неабелевыми калибровочными группами, как, например, в теории сильных взаимодействий (КХД), напряженность поля играет важную роль в определении динамики и структуры этих взаимодействий.
Калибровочные теории базируются на понятии локальных симметрий, которые представляют собой преобразования, действующие на каждой точке пространства-времени. Для неабелевых групп, таких как SU(N), эти симметрии обладают более сложной структурой по сравнению с абелевыми группами, как например, U(1). В теории с неабелевой калибровкой поле преобразуется как вектор в пространстве соответствующих симметрий, что приводит к сложным структурам взаимодействий.
Преобразования калибровочных полей можно записать через следующие выражения:
$$ A_\mu(x) \rightarrow A'_\mu(x) = U(x) A_\mu(x) U^{-1}(x) + \frac{i}{g} (\partial_\mu U(x)) U^{-1}(x) $$
где Aμ(x) — это компонент калибровочного поля, U(x) — элемент калибровочной группы, а g — это связанная с симметрией постоянная.
Напряженность (или поле strength) для неабелевых калибровочных полей определяется через калибровочный потенциал Aμ. Она описывает структуру поля, которое возникает в результате взаимодействий. Для неабелевой группы SU(N) напряженность поля выражается через так называемое поле Фарадея Fμν:
Fμν(x) = ∂μAν(x) − ∂νAμ(x) + ig[Aμ(x), Aν(x)]
где [Aμ(x), Aν(x)] — это коммутатор, отражающий неабелевую структуру поля.
Это уравнение описывает компоненты напряженности поля, которые ответственны за взаимодействие частиц. Важной особенностью является то, что для неабелевых полей напряженность имеет дополнительный член, который появляется из-за нелинейной структуры теории.
Лагранжиан для системы с неабелевым калибровочным полем включает в себя кинетическую часть для поля Фарадея, а также взаимодействия с материей через фермионные поля. Он записывается следующим образом:
$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}^a F^{a\mu\nu} + \overline{\psi} (i\gamma^\mu D_\mu - m) \psi $$
где Fμνa — это компоненты поля Фарадея для группы SU(N), Dμ — это ковариантная производная, а ψ — фермионное поле, взаимодействующее с калибровочным полем.
Ковариантная производная для фермионного поля определяется как:
Dμψ = (∂μ − igAμ)ψ
Эта часть Лагранжиана описывает взаимодействие фермионов с калибровочным полем. Важно отметить, что взаимодействие между частицами зависит от структуры калибровочной группы, и взаимодействие становится сложным из-за коммутативных свойств генераторов группы.
Из вариации Лагранжиана с учетом калибровочных полей и поля материи можно получить уравнения движения для полей. Уравнение для напряженности поля (уравнение Максвелла для неабелевых полей) имеет вид:
DμFμνa = jνa
где jνa — это ток, связанный с взаимодействующими частицами, а Dμ — это ковариантная производная, учитывающая взаимодействие через калибровочное поле.
Для фермионов уравнение движения имеет вид:
(iγμDμ − m)ψ = 0
Эти уравнения описывают динамику калибровочных полей и материи, взаимодействующих через неабелевую калибровочную симметрию.
В теориях с неабелевыми калибровочными группами наблюдаются новые формы взаимодействий, не встречающиеся в абелевых теориях. Например, существует возможность создания сильных взаимодействий между частицами за счет нелинейной структуры поля, которая приводит к эффектам, подобным конфайнменту в квантовой хромодинамике (КХД). Такие явления обусловлены сильными нелинейными взаимодействиями, возникающими из-за коммутативных членов в поле Фарадея.
Для описания таких взаимодействий часто используется концепция эффективных потенциалов, которые учитывают как кинетическую энергию поля, так и его взаимодействие с частицами. Эти потенциалы определяются через вычисление амплитуд рассеяния и других физических величин, связанных с конкретной теорией.
Неабелевы калибровочные поля, особенно в контексте сильных взаимодействий, сталкиваются с рядом фундаментальных проблем, таких как:
Конфайнмент — явление, при котором частицы не могут существовать в виде свободных частиц, а образуют мезоны и барионы. В теории сильных взаимодействий эта проблема решается с помощью специфических свойств КХД.
Аномалии — в некоторых случаях могут возникать аномальные эффекты, такие как аномальные симметрии, которые требуют дополнительных техник для их учета.
Ренормализация — поскольку теории с неабелевыми симметриями могут приводить к бесконечностям в расчетах, важно разрабатывать методы, которые позволяют проводить ренормализацию для таких теорий.