Неабелевы калибровочные группы и их алгебры Ли

Неабелевы калибровочные группы играют ключевую роль в формулировке теорий взаимодействий элементарных частиц, таких как сильное и слабое взаимодействие. В отличие от абелевых групп, где операция групповой композиции коммутирует, в неабелевых группах это не так, что придает этим теориям сложную и интересную структуру. В данной главе рассмотрены основные аспекты этих групп, их связь с алгебрами Ли и их применение в контексте квантовой теории поля.

Калибровочные группы в теории поля определяют симметрию взаимодействий между частицами, где действие на физические поля осуществляется через преобразования группы. Для абелевых групп, таких как U(1) в электродинамике, операция группы коммутирует, что означает, что порядок применения операций не имеет значения. Для неабелевых групп, например SU(2) и SU(3), операция некоммутативна, что приводит к более сложным взаимодействиям между полями.

Неабелева группа G обладает операцией композиции *, которая для двух элементов g₁, g₂ ∈ G имеет свойство g₁ * g₂ ≠ g₂ * g₁, что отражает асимметрию в группе. Примеры таких групп включают SU(2) (группа спиновых преобразований) и SU(3) (группа кварков в квантовой хромодинамике).

2. Алгебры Ли и их связь с калибровочными группами

Алгебры Ли являются математическим инструментом, описывающим малые преобразования в неабелевых калибровочных группах. Для любой группы существует ассоциированная с ней алгебра Ли, которая содержит информацию о бесконечно малых преобразованиях в группе. Эти преобразования можно представить с помощью матриц или оператора, что в квантовой теории поля даёт возможность работать с операторами поля и их взаимодействиями.

Алгебра Ли группы G представляет собой векторное пространство, содержащее матрицы или операторы, которые удовлетворяют следующим коммутативным соотношениям:

[T^a, T^b] = if^abcT^c

где T^a и T^b — элементы алгебры, f^abc — структура-символы, которые определяют структуру взаимодействий, а индексы a, b, c обозначают компоненты алгебры. Структурные константы f^abc содержат информацию о том, как различные компоненты алгебры взаимодействуют между собой.

Для группы SU(N) алгебра Ли описывается матрицами T^a, которые соответствуют генераторам алгебры. Эти генераторы являются независимыми матричными операторами, которые реализуют алгебраические соотношения и отвечают за преобразования, вызывающие симметрии теории.

3. Пример: Алгебра Ли группы SU(2)

Группа SU(2) имеет алгебру Ли, состоящую из трёх генераторов T^a (где a = 1, 2, 3), которые можно представить как матрицы Паули:

$$ T^1 = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad T^2 = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad T^3 = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$

Эти матрицы удовлетворяют коммутативным соотношениям:

[T^a, T^b] = iϵ^abcT^c

где ϵ^abc — символ Леви-Чивиты, который определяет антисимметричные комбинации индексов. Это выражение является основным для описания слабого взаимодействия в теории, так как алгебра Ли SU(2) отвечает за внутреннюю симметрию частиц, участвующих в слабых взаимодействиях.

4. Пример: Алгебра Ли группы SU(3)

Группа SU(3), отвечающая за кварковое взаимодействие в квантовой хромодинамике (КХД), имеет алгебру Ли, состоящую из восьми генераторов. Эти генераторы могут быть представлены как матрицы T^a в пространстве 3x3 и описывают три цвета кварков. Структура коммутативных соотношений для SU(3) более сложна, чем для SU(2), из-за большего числа генераторов.

Алгебра Ли для SU(3) выражается через коммутаторы вида:

[T^a, T^b] = if^abcT^c

где a, b, c пронумерованы от 1 до 8, и f^abc представляют собой структуру-символы, которые задают взаимодействие между различными генераторами. Эта структура играет центральную роль в описании сильных взаимодействий и приводит к сложной картине взаимодействий между кварками и глюонами.

5. Калибровочные поля и калибровочные бозоны

Для каждой из этих групп существует соответствующее калибровочное поле, которое взаимодействует с фермионами (частицами, имеющими спин 1/2) и другими полями. Например, для группы SU(2) в теории электрослабых взаимодействий это поле — это бозоны W^± и Z⁰, которые переносят слабые взаимодействия. Для группы SU(3) в КХД калибровочными бозонами являются глюоны, которые взаимодействуют с кварками.

Эти поля могут быть выражены как компоненты четырёхвекторных полей, которые подчиняются уравнениям, полученным из принципа инвариантности калибровочной симметрии. Эти уравнения, как правило, являются уравнениями для полевых сил и включают взаимодействие между различными калибровочными бозонами и фермионами.

6. Применение в теории поля

Неабелевы калибровочные группы и их алгебры Ли лежат в основе многих важнейших теорий, таких как электрослабая теория и квантовая хромодинамика. В этих теориях, использование неабелевых групп позволяет описывать сложные взаимодействия и учитывать эффекты, которые невозможно учесть в абелевых теориях. Калибровочные бозоны, как промежуточные частицы, обеспечивают передачу взаимодействий между другими частицами, что является фундаментальным элементом в понимании взаимодействий материи.

Развитие теории калибровочных групп и их алгебр Ли позволило сформулировать стандарты теории поля и квантовой теории поля, предоставив мощные инструменты для дальнейших исследований в области физики элементарных частиц.