Формализм смешивания лептонов и нейтринных осцилляций
В рамках Стандартной модели нейтрино изначально считались безмассовыми фермионами, взаимодействующими только посредством слабых взаимодействий. Однако открытие осцилляций нейтрино, в частности в атмосферных, солнечных и реакторных экспериментах, потребовало модификации теории: наличие массы у нейтрино стало необходимым.
В квантовой теории поля массовое состояние нейтрино описывается полем Дирака (или в случае Majorana — полем с Majorana-массой), удовлетворяющим уравнению:
(iγμ∂μ − mi)νi(x) = 0
где индекс i = 1, 2, 3 нумерует массовые собственные состояния. Однако слабые взаимодействия «видят» не массовые, а лептонные состояния — те, которые участвуют в заряженном токе вместе с электронами, мюонами и тау-лептонами. Эти состояния называются лептонными состояниями (или flavor-состояниями) и обозначаются να, α = e, μ, τ.
Связь между flavor-состояниями и массовыми реализуется через матрицу смешивания Понтекорво — Маки — Накагавы — Сакаты (PMNS):
$$ \nu_\alpha = \sum_{i=1}^3 U_{\alpha i} \nu_i $$
где:
Матрица U параметризуется в общем случае с использованием трёх углов Эйлера θ12, θ23, θ13 и фазы CP-нарушения δCP, а также двух Majorana-фаз (в случае Majorana-нейтрино). В стандартной параметризации:
$$ U = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c_{23} & s_{23} \\ 0 & -s_{23} & c_{23} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_{13} & 0 & s_{13} e^{-i\delta_{CP}} \\ 0 & 1 & 0 \\ -s_{13} e^{i\delta_{CP}} & 0 & c_{13} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_{12} & s_{12} & 0 \\ -s_{12} & c_{12} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \text{diag}(1, e^{i\alpha}, e^{i\beta}) $$
где cij = cos θij, sij = sin θij, а α, β — Majorana-фазы, не влияющие на осцилляции, но играющие роль в процессах, нарушающих лептонное число, например, в безнейтринном двойном бета-распаде.
Явление нейтринных осцилляций — результат того, что нейтрино, созданное в определённом flavor-состоянии, эволюционирует с течением времени как суперпозиция массовых состояний с различными фазами.
Пусть в момент t = 0 создано нейтрино flavor α. Эволюция определяется свободной квантовой теорией:
|να(t)⟩ = ∑iUαie−iEit|νi⟩
С учётом того, что в релятивистском пределе $E_i \approx p + \frac{m_i^2}{2E}$, фазовые различия между компонентами приводят к ненулевой вероятности нахождения нейтрино с другим flavor β в момент времени t. Амплитуда перехода:
$$ A_{\alpha \rightarrow \beta}(t) = \langle \nu_\beta | \nu_\alpha(t) \rangle = \sum_i U^*_{\beta i} U_{\alpha i} e^{-i \frac{m_i^2}{2E} t} $$
Соответствующая вероятность:
$$ P_{\alpha \rightarrow \beta}(L) = \delta_{\alpha \beta} - 4 \sum_{i<j} \operatorname{Re}[U_{\alpha i} U^*_{\beta i} U^*_{\alpha j} U_{\beta j}] \sin^2 \left( \frac{\Delta m_{ij}^2 L}{4E} \right) + 2 \sum_{i<j} \operatorname{Im}[U_{\alpha i} U^*_{\beta i} U^*_{\alpha j} U_{\beta j}] \sin \left( \frac{\Delta m_{ij}^2 L}{2E} \right) $$
где L ≈ t — расстояние, пройденное нейтрино, и Δmij2 = mi2 − mj2. Здесь видны два ключевых эффекта:
Часто для качественного анализа используют упрощённую модель с двумя flavor:
$$ \begin{pmatrix} \nu_\alpha \\ \nu_\beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \nu_1 \\ \nu_2 \end{pmatrix} $$
Тогда вероятность перехода:
$$ P_{\alpha \rightarrow \beta}(L) = \sin^2(2\theta) \sin^2\left( \frac{\Delta m^2 L}{4E} \right) $$
где:
Этот результат чётко иллюстрирует интерференционный характер осцилляций.
Экспериментальные данные показывают, что:
Порядок масс остаётся неизвестным:
При прохождении нейтрино через вещество (например, Солнце или Землю) взаимодействие с электронами посредством обмена W-бозоном приводит к изменению эффективного потенциала для νe, но не для νμ, ντ. В результате уравнение эволюции получает дополнительный вклад:
$$ i \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} \nu_e \\ \nu_x \end{pmatrix} = \left[ \frac{\Delta m^2}{4E} \begin{pmatrix} -\cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} V_{CC} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} \nu_e \\ \nu_x \end{pmatrix} $$
где $V_{CC} = \sqrt{2} G_F n_e$, ne — плотность электронов. Это приводит к резонансному усилению осцилляций, если выполнено условие:
$$ V_{CC} = \frac{\Delta m^2}{2E} \cos 2\theta $$
что реализуется, в частности, для солнечных нейтрино и даёт объяснение их дефицита в детекторах.
В КТП нейтрино следует рассматривать не как одночастичную волновую функцию, а как возбуждение квантового поля. Однако стандартный механизм осцилляций строится на суперпозиции состояний, соответствующих различным массам. Такой подход сопряжён с трудностями при попытке строго определить осцилляции в рамках Лагранжиана: осциллируют состояния, но не поля.
Формально можно построить лагранжиан с массовыми терминами и диагонализовать его, после чего flavor-состояния будут линейными комбинациями полей с определённой массой. Это приводит к нетривиальной структуре вакуума, аналогичной феномену смешивания в кварковом секторе, но с дополнительными сложностями из-за возможной Majorana-природы нейтрино.
Если фаза δCP в матрице PMNS отлична от 0 или π, возникает CP-асимметрия:
AαβCP = P(να → νβ) − P(ν̄α → ν̄β) ≠ 0
Этот эффект может быть ключевым в объяснении лептогенеза — сценария, при котором асимметрия между материей и антиматерией во Вселенной возникает в результате CP-нарушения в распадах тяжёлых нейтрино в ранней Вселенной.
Для объяснения малости масс нейтрино предполагается механизм сежима (see-saw), в котором нейтрино получают массы за счёт взаимодействий с тяжёлыми правыми нейтрино:
$$ \mathcal{L}_{\text{mass}} = - \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \nu_L & N_R^c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & m_D \\ m_D^T & M_R \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \nu_L^c \\ N_R \end{pmatrix} + \text{h.c.} $$
Диагонализация этой матрицы даёт лёгкие нейтрино с массами mν ≈ −mD2/MR и тяжёлые состояния с массой порядка MR. Это естественным образом объясняет наблюдаемую малость нейтринных масс.
Нейтринные осцилляции наблюдаются в экспериментах типа:
Они также играют фундаментальную роль в:
Измерения осцилляций — мощный инструмент для изучения фундаментальных свойств материи, включая CP-нарушение, структуру массы и возможные проявления новой физики.