Операторы высших размерностей

Операторы высших размерностей в квантовой теории поля

Рассмотрим квантовую теорию поля, обладающую характерной шкалой энергии Λ, выше которой описательная мощность данной теории утрачивается. Ниже этой шкалы адекватное описание обеспечивается эффективной теорией, в которой тяжёлые степени свободы интегрированы, а динамика оставшихся — описывается расширенным лагранжианом. Общая форма такого лагранжиана:

$$ \mathcal{L}_\text{эфф} = \mathcal{L}_\text{рен} + \sum_i \frac{c_i^{(d)}}{\Lambda^{d - 4}} \mathcal{O}_i^{(d)}, \quad d > 4, $$

где ℒ_рен — лагранжиан, содержащий операторы размерности ≤ 4 (ренормализуемые), ????_i^(d) — операторы высших размерностей, c_i^(d) — безразмерные коэффициенты. Такие операторы подавлены степенями масштаба Λ, что делает их влияние существенно меньшим при энергиях E ≪ Λ, однако они могут играть решающую роль при описании редких процессов, нарушений симметрий, фазовых переходов и т.д.

Классификация и примеры операторов высших размерностей

Операторы высших размерностей систематизируются по их канонической размерности d > 4 и квантовым числам. Примеры:

Размерность 5: единственный допустимый оператор в Стандартной модели без введения новых полей:

$$ \mathcal{O}_5 = \frac{1}{\Lambda} (L H)^2 + \text{h.c.} $$

где L — лептонный дублет, H — хиггсовский дублет. Этот оператор даёт Majorana-массу нейтрино после спонтанного нарушения электрослабой симметрии:

$$ m_\nu \sim \frac{v^2}{\Lambda}. $$
Размерность 6: включает большое множество операторов, среди которых:
- четырехфермионные контакты:
  
  $$ \mathcal{O}_6 = \frac{1}{\Lambda^2} (\bar{\psi} \gamma^\mu \psi)(\bar{\psi} \gamma_\mu \psi), $$
- операторы электромагнитного момента:
  
  $$ \mathcal{O}_{\mu\nu} = \frac{1}{\Lambda^2} (\bar{\psi} \sigma^{\mu\nu} \psi) F_{\mu\nu}, $$
- операторы, нарушающие сохранение барионного и лептонного числа:
  
  $$ \mathcal{O}_\text{BNV} = \frac{1}{\Lambda^2} (qqq\ell), $$
  
  играют ключевую роль в сценариях распада протона.

Роль операторов высших размерностей в нарушении симметрий

Нарушение CP

Операторы высших размерностей естественным образом вносят вклад в нарушение CP-симметрии. Классическим примером является т.н. терм θ в квантовой хромодинамике, а также EDM (электрический дипольный момент) фермионов:

$$ \mathcal{O}_{EDM} = \frac{1}{\Lambda^2} (\bar{\psi} \sigma^{\mu\nu} \gamma^5 \psi) F_{\mu\nu}, $$

который индуцирует нарушение CP даже в отсутствии фазы Кобаяши-Маскавы. Точные измерения EDM ограничивают масштабы новой физики вплоть до Λ ∼ 10⁴ TeV.

Интегрирование тяжёлых полей как источник операторов высших размерностей

Интегрирование тяжёлых степеней свободы на уровне функционального интеграла приводит к возникновению эффективных операторов. Пусть поле X с массой M взаимодействует с лёгкими полями ϕ. Тогда при E ≪ M, после интегрирования по X, лагранжиан будет содержать бесконечный ряд:

$$ \mathcal{L}_\text{эфф} = \mathcal{L}_\phi + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{M^n} \mathcal{O}^{(4+n)}(\phi). $$

Пример: в механизме Зеесава нейтрино получают массу через обмен тяжёлым фермионом N с массой M:

$$ \mathcal{L} = y\, \bar{L} H N + \frac{1}{2} M \bar{N^c} N \quad \Rightarrow \quad \mathcal{L}_\text{эфф} = \frac{y^2}{M} (L H)^2. $$

Эффективные теории и соответствие Вайнберга

Согласно Вайнбергу, любая теория, допускающая интегрирование тяжёлых полей и обладающая локальной лагранжевой формулировкой, может быть заменена на эффективную теорию, содержащую операторы всех возможных размерностей, согласующихся с симметриями. Важнейшим принципом здесь является:

Все допустимые по симметриям операторы должны быть учтены, даже если их коэффициенты неизвестны.

Это делает эффективный лагранжиан универсальным инструментом для описания низкоэнергетической физики.

Роль операторов высших размерностей в Стандартной модели

Даже при отсутствии новых частиц, операторы размерности > 4 возникают при рассмотрении Стандартной модели как эффективной теории, валидной до некой шкалы Λ_NP. Разработана систематическая классификация операторов размерности 5 и 6, известных как SMEFT (Standard Model Effective Field Theory). SMEFT является расширением SM с сохранением SU(3)_C×SU(2)_L×U(1)_Y симметрии, и включает все возможные инвариантные операторы до определённой размерности.

Полный список операторов размерности 6 в SMEFT был построен (Buchmüller & Wyler, затем Grzadkowski et al.) и включает 59 независимых структур (без flavour) с учётом интеграции по частям, тождеств Фирца и уравнений движения.

Скалирование с энергией и нарушение унитарности

Операторы высших размерностей дают вклад в амплитуды рассеяния, растущий с энергией. Например, для четырёхфермионного оператора:

$$ \mathcal{A}(f f \to f f) \sim \frac{s}{\Lambda^2}, $$

что приводит к нарушению унитарности при s ≳ 4πΛ², указывая на предел применимости эффективной теории. Это означает, что при достаточно высоких энергиях должна появиться новая степень свободы, которая «восстанавливает» унитарность.

Физика за пределами Стандартной модели и роль операторов

Операторы высших размерностей — основной инструмент для описания эффектов гипотетической новой физики без явного введения новых полей. В частности, они позволяют:

описывать редкие распады, например, B → Kμ⁺μ⁻;
анализировать возможные отклонения от SM в прецизионных измерениях;
ставить ограничения на массу новых частиц даже при их недоступности для прямого производства;
формулировать гипотезы о природе тёмной материи, если она взаимодействует с SM через suppressed operators («порталы»).

Дименсиональный анализ и ожидаемые масштабы

Из-за подавления масштабом Λ, эффекты операторов высших размерностей становятся существенными только при достижении высокой точности измерений. Например, для d = 6, вклад в вероятности процессов составляет:

$$ \delta \mathcal{M} \sim \frac{E^2}{\Lambda^2}, \quad \Rightarrow \quad \delta \Gamma \sim \left(\frac{E}{\Lambda}\right)^4. $$

Таким образом, при E ∼ 100 GeV и точности на уровне 10⁻³, можно чувствовать эффекты при Λ ∼ 10 TeV.

Влияние операторов на космологию и астрофизику

Бариногенез: операторы, нарушающие C и CP, а также барионное число, необходимы для реализации механизмов генерации барионной асимметрии;
Инфляция: расширения лагранжиана инфлатона могут включать операторы высших размерностей, модифицируя форму потенциала и предсказания для спектра возмущений;
Процессы во Вселенной раннего времени, такие как нейтринная декуплировка, реликтовый синтез и т.д., чувствительны к слабым эффектам операторов выше 4-й размерности.

Квантовая коррекция и генерация операторов

Операторы высших размерностей могут быть индуцированы радиативно в рамках ренормализуемых теорий. Это означает, что даже если оператор отсутствует на дереве, он может возникнуть на петлевом уровне, например:

$$ \mathcal{O}_6^{\text{loop}} \sim \frac{1}{(4\pi)^2} \frac{1}{\Lambda^2} \mathcal{O}. $$

Таким образом, важно учитывать петлевую структуру и ренормализацию, особенно при построении согласованной EFT.

Ренормализация операторов и ОПЭ

Операторы высших размерностей подвержены ренормализации: их коэффициенты текут с масштабом в рамках анализов групп бета-функций. Кроме того, в контексте ОПЭ (операторного разложения) амплитуд, высокоэнергетические вклады выражаются через конденсаты и коэффициенты перед операторами в EFT. Это — основа подхода, применяемого, например, в квантовой хромодинамике для описания адронной феноменологии.

Перспективы и ограничения

Хотя операторы высших размерностей обеспечивают мощный универсальный язык, есть и ограничения:

число независимых операторов растёт экспоненциально с размерностью;
возникает проблема “flat directions” — комбинации операторов, дающих одинаковые физические эффекты;
без знания UV-завершения, невозможно точно предсказать коэффициенты перед операторами.

Тем не менее, в современной физике операторный подход на базе эффективных теорий остаётся краеугольным камнем как теоретического анализа, так и интерпретации экспериментальных данных.