В рамках двумерной конформной теории поля особое место занимают первичные поля (primary fields) — это те локальные операторы, которые преобразуются под действием конформной группы наиболее просто и управляемо. Пусть ϕ(z, z̄) — такой оператор. При аналитическом преобразовании координат
z ↦ f(z), z̄ ↦ f̄(z̄),
он трансформируется согласно правилу
$$ \phi(z,\bar{z}) \mapsto \left(\frac{df}{dz}\right)^{-h} \left(\frac{d\bar{f}}{d\bar{z}}\right)^{-\bar{h}} \phi(f(z), \bar{f}(\bar{z})), $$
где h, h̄ — соответственно конформные веса (или спины) поля. Это определение фиксирует структуру поля как первичного, поскольку оно показывает, что трансформация локального оператора при конформном преобразовании содержит только множители Якоби и не включает производных от оператора.
Особо важным частным случаем является поле с h̄ = 0, которое называется хиральным и зависит только от z, тогда как поле с h = 0 называется антихиральным и зависит только от z̄.
Инфинитезимальные конформные преобразования в двумерной теории удобно описываются с помощью алгебры Вирасоро. Пусть Ln — генераторы голоморфной части, тогда они реализуются как
$$ L_n = -z^{n+1} \frac{d}{dz}, $$
и удовлетворяют коммутационным соотношениям:
$$ [L_n, L_m] = (n - m) L_{n+m} + \frac{c}{12}n(n^2 - 1)\delta_{n+m,0}, $$
где c — центральный заряд теории.
Действие Ln на первичное поле ϕh(z) можно записать в виде:
[Ln, ϕh(z)] = (zn + 1∂z + h(n + 1)zn)ϕh(z),
что отражает трансформационное поведение первичного поля при малых конформных преобразованиях.
Аналогично, антиголоморфные генераторы L̄n действуют на ϕh̄(z̄) как
[L̄n, ϕh̄(z̄)] = (z̄n + 1∂z̄ + h̄(n + 1)z̄n)ϕh̄(z̄).
Начнем с вакуумного вектора |0⟩, аннигилируемого всеми Ln при n ≥ −1. Тогда первичному полю ϕh(0) соответствует вектор состояния
|h⟩ = ϕh(0)|0⟩,
который удовлетворяет:
L0|h⟩ = h|h⟩, Ln|h⟩ = 0 при n > 0.
Пространство, порожденное повторным действием операторов L−n на |h⟩, образует модуль Верма ????h:
????h = span{L−n1L−n2⋯L−nk|h⟩ : n1 ≥ n2 ≥ ⋯ ≥ nk > 0}.
Такие состояния называются потомками первичного состояния. Они представляют собой операторы, полученные из первичного поля посредством применения производных или действием компонент тензора энергии-импульса $T(z) \sim \sum_n \frac{L_n}{z^{n+2}}$.
Каждому потомку сопоставляется его уровень — сумма номеров операторов L−ni, действующих на первичное состояние. Например,
L−2|h⟩ имеет уровень 2, L−12|h⟩ тоже имеет уровень 2.
При некоторых значениях h и c, модуль Верма может содержать нормализованные нильпотентные состояния (null states) — ненулевые векторы, которые при этом ортогональны ко всем векторов, включая самих себя. Такие состояния необходимо факторизовать, чтобы получить унитарную теорию.
Простейший пример: при c = 1 и h = 1, состояние
$$ \left( L_{-2} - \frac{3}{2} L_{-1}^2 \right)|h=1\rangle $$
является нильпотентным.
Первичное поле определяет конформное семейство — совокупность всех потомков, включая первичное состояние. Такие семейства ведут себя как неприводимые представления алгебры Вирасоро, при условии факторизации по нильпотентным векторам.
Важным структурным элементом теории является операторное произведение (ОПЭ, Operator Product Expansion), выражающее локальные операторы как суммы:
ϕi(z)ϕj(0) ∼ ∑kCijkzhk − hi − hjϕk(0) + потомки,
где Cijk — коэффициенты ОПЭ, определяющие структуру теории. В частности, ОПЭ позволяет вычислять многоточечные корреляторы итеративно.
Потомки появляются как производные от первичных полей, и вклад каждого уровня можно определить по правилу, вытекающему из представления алгебры Вирасоро.
Из трансформационных свойств первичных полей вытекают ограничения на возможный вид корреляционных функций. Для двухточечного коррелятора имеем:
$$ \langle \phi_{h_1,\bar{h}_1}(z_1,\bar{z}_1) \phi_{h_2,\bar{h}_2}(z_2,\bar{z}_2) \rangle = \delta_{h_1,h_2} \delta_{\bar{h}_1,\bar{h}_2} \frac{C}{(z_{12})^{2h} (\bar{z}_{12})^{2\bar{h}}}, $$
а для трехточечного:
$$ \langle \phi_1(z_1) \phi_2(z_2) \phi_3(z_3) \rangle = \frac{C_{123}}{z_{12}^{h_1 + h_2 - h_3} z_{23}^{h_2 + h_3 - h_1} z_{31}^{h_3 + h_1 - h_2}} \times (\text{аналогично для } \bar{z}), $$
где C123 — константы связи. Выражения диктуются инвариантностью под действием глобальной части конформной группы SL(2, ℂ).
В унитарных теориях, где скалярное произведение положительно определено, существуют жесткие ограничения на допустимые значения h и c. Для c < 1 возможны только конечные множества допустимых представлений — они классифицированы в рамках минимальных моделей, где h принимает дискретный набор значений, а сами модели имеют конечное число первичных полей.
Например, минимальная модель ℳ(3, 4) (известная как изингова модель) содержит три первичных поля с $h = 0, \, \tfrac{1}{2}, \, \tfrac{1}{16}$.
Четырехточечные корреляторы распадаются на суммы по промежуточным конформным семействам. Для фиксированной схемы ОПЭ:
$$ \langle \phi_1(z_1)\phi_2(z_2)\phi_3(z_3)\phi_4(z_4) \rangle = \sum_p C_{12}^p C_{34}^p \, \mathcal{F}_p(x) \bar{\mathcal{F}}_p(\bar{x}), $$
где x — кросс-отношение, а ℱp(x) — конформные блоки, выражающие вклад семейства p в коррелятор. Структура блоков строго фиксирована алгеброй Вирасоро и может быть построена рекурсивно по уровням.
Это разложение отражает глубокую факторизуемость теории: вся динамика закодирована в конечных наборах конформных данных — (c, hi, Cijk), тогда как геометрия вложена в универсальные блоки.