Полиаковское действие является фундаментальной конструкцией в теории струн, описывая динамику двумерной сигма-модели, отвечающей за эволюцию струны в целевом пространстве. Пусть двумерный мир-лист струны параметризуется координатами (σ0, σ1) ≡ (τ, σ), а метрика на нём обозначается γab. Пусть Xμ(σ), где μ = 0, 1, …, D − 1, описывают встраивание двумерного листа в D-мерное целевое пространство с метрикой ημν.
Полиаковское действие имеет вид:
$$ S_P[X, \gamma] = -\frac{T}{2} \int d^2\sigma \sqrt{-\gamma} \gamma^{ab} \partial_a X^\mu \partial_b X^\nu \eta_{\mu\nu}, $$
где:
Это действие инвариантно относительно:
Полиаковское действие классически эквивалентно действию Намбю–Гото:
$$ S_{NG} = -T \int d^2\sigma \sqrt{-\det(\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu \eta_{\mu\nu})}, $$
однако оно более удобно для квантования, поскольку содержит только квадратичные производные и допускает применение стандартных методов квантовой теории поля.
Вариация по Xμ даёт уравнение Эйлера–Лагранжа:
$$ \frac{1}{\sqrt{-\gamma}} \partial_a \left( \sqrt{-\gamma} \gamma^{ab} \partial_b X^\mu \right) = 0, $$
что есть обобщённое двумерное волновое уравнение в криволинейных координатах.
Вариация по γab даёт тензор энергии-импульса:
$$ T_{ab} = \frac{2}{\sqrt{-\gamma}} \frac{\delta S_P}{\delta \gamma^{ab}} = \partial_a X^\mu \partial_b X_\mu - \frac{1}{2} \gamma_{ab} \gamma^{cd} \partial_c X^\mu \partial_d X_\mu. $$
В силу симметрий требуется выполнение уравнения Tab = 0 — условие безмассовости и конформного инварианта.
С учётом симметрий можно воспользоваться калибровкой конформной плоскости, выбрав:
γab = e2ϕ(σ)ηab,
где ηab — двумерная метрика Минковского. Благодаря инвариантности Полиаковского действия относительно преобразований Виеля, масштабный фактор e2ϕ исчезает, и действие принимает простой вид:
$$ S_P = -\frac{T}{2} \int d^2\sigma \, \eta^{ab} \partial_a X^\mu \partial_b X_\mu. $$
Теперь Xμ(σ) подчиняются линейным волновым уравнениям:
□Xμ = (∂τ2 − ∂σ2)Xμ = 0,
а ограничения Tab = 0 принимают форму условий Вирасо́ро:
T++ = ∂+Xμ∂+Xμ = 0, T−− = ∂−Xμ∂−Xμ = 0,
где σ± = τ ± σ — световые координаты.
Решения волнового уравнения представимы как сумма правой и левой движущихся волн:
Xμ(σ, τ) = XLμ(σ+) + XRμ(σ−).
Для закрытой струны (условие периодичности):
Xμ(σ + 2π, τ) = Xμ(σ, τ),
решение записывается через разложение в ряды Фурье:
$$ X^\mu(\tau, \sigma) = x^\mu + \frac{\alpha'}{2} p^\mu \tau + i \sqrt{\frac{\alpha'}{2}} \sum_{n \ne 0} \frac{1}{n} \left( \alpha_n^\mu e^{-in\sigma^-} + \tilde{\alpha}_n^\mu e^{-in\sigma^+} \right), $$
где αnμ, α̃nμ — моды осцилляторов.
Канонические переменные:
$$ \Pi^\mu(\sigma, \tau) = \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta(\partial_\tau X_\mu)} = T \partial_\tau X^\mu. $$
Канонические коммутационные соотношения при квантовании:
[Xμ(σ), Πν(σ′)] = iδ(σ − σ′)ημν,
что влечёт:
[αmμ, αnν] = mδm + nημν, [xμ, pν] = iημν.
Компоненты T++, T−− образуют алгебру Вирасо́ро. В квантовом случае:
$$ L_n = \frac{1}{2} \sum_m \alpha_{n-m}^\mu \alpha_{m,\mu}, \quad \tilde{L}_n = \frac{1}{2} \sum_m \tilde{\alpha}_{n-m}^\mu \tilde{\alpha}_{m,\mu}, $$
где Ln и L̃n удовлетворяют коммутатору:
$$ [L_m, L_n] = (m-n) L_{m+n} + \frac{c}{12} m(m^2 - 1) \delta_{m+n,0}, $$
где c = D — центральный заряд. Аналогично для L̃n.
Аномалия пропорциональна c и нарушает классическую конформную инвариантность. Чтобы её устранить, требуется c = 26 — критическая размерность бозонной струны.
Физические состояния струны подчиняются условиям:
$$ (L_0 - a)\ket{\text{phys}} = 0, \quad L_n \ket{\text{phys}} = 0 \quad (n > 0), $$
и аналогично для L̃n, где a — нормировочная константа (для бозонной струны a = 1).
Нулевая мода L0 выражается как:
$$ L_0 = \frac{\alpha'}{4} p^2 + N, \quad \tilde{L}_0 = \frac{\alpha'}{4} p^2 + \tilde{N}, $$
где N, Ñ — уровни возбуждения. Условие L0 = L̃0 требует N = Ñ, а масса состояния задаётся:
$$ M^2 = -p^2 = \frac{4}{\alpha'} (N - a). $$
Полиаковское действие определяет двумерную квантовую теорию поля для D скалярных полей Xμ на двумерной поверхности. Она является конформной теорией поля с центральным зарядом c = D. Однако при квантовании метрики γab необходимо учитывать вклад фантомного детерминанта от фиксации калибровки. Это приводит к дополнительному вкладу в центральный заряд от призрачного сектора (ghosts), равному c = −26.
Требование полной конформной инвариантности квантовой теории:
cматерия + cпризраки = 0 ⇒ D = 26,
что является условием отсутствия аномалии в калибровочной симметрии (конформной аномалии).
Полиаковская формализация позволяет рассматривать теорию как интеграл по всевозможным метрикам γab, факторизованным по диффеоморфизмам и Виелевым преобразованиям:
$$ Z = \int \frac{\mathcal{D}X \mathcal{D}\gamma}{\text{Diff} \times \text{Weyl}} e^{-S_P[X, \gamma]}. $$
Этот путь ведёт к интегралу по модульному пространству римановых поверхностей и формирует основу для пертубационной теории струн, где каждая диаграмма Фейнмана соответствует вложенной поверхности определённого рода.
Полиаковское действие может быть обобщено до суперсимметрического, включающего фермионные партнёры полей Xμ, что приводит к суперструнной теории. В этом случае действие включает как бозонные, так и фермионные поля, а критическая размерность изменяется на D = 10, соответствующую нулевой бете-функции супермультиплета.
Полиаковское действие не только формирует фундамент теории струн, но и демонстрирует, как двумерная квантовая теория поля может быть использована для описания гравитации в рамках теории струн, где метрика двумерного мира превращается в динамическую переменную, интегрируемую в квантовом пути.